openjudge 2757:最长上升子序列

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描述
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出

最长上升子序列的长度。

样例输入
7

1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

解题思路：

1.找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个子问题，但是这样分解子问题
不具有“无后效性”

假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x,有的序列的最后一个元素比an+1小
，则加上an+1就能想成更长上升子序列；有的序列最后一个元素不必an+1小...故以后
的情形将受到状态n的影响，不符合“无后效性”

2.确定状态

子问题之和一个变量--数字的位置有关。因此序列中数字的位置k就是状态，而状态
k对应的值就是以ak作为终点的最长上升子序列的长度。
状态一共有N个。

3.确定一些初始状态
在本状态的初始状态中是将状态数组len[i]初始化为1.

4.找出状态转移方程

maxLen (k)表示以ak做为“终点”的
最长上升子序列的长度那么：
初始状态：maxLen (1) = 1
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1
maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度最大的那个上升子序
列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长
的上升子序列。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;


const int maxn = 1010;

int a[maxn],len[maxn];
int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        len[i] = 1;
    }
    //“人人为我”递推版动归程序
    /*for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(a[j]<a[i])
                len[i] = max(len[i],len[j]+1);
        }
    }*/
    //"我为人人"版
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(a[j]>a[i])
                len[j] = max(len[j],len[i]+1);
        }
    }
    int Max = -1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        Max = max(Max,len[i]);
    printf("%d\n",Max);
    printf("%d\n",*max_element(len,len+n));
    return 0;
}