排列组合与错排问题

排列

  排列是任务的有序安置。指的是从集合C={c1,c2,c3,c4…,cn}中选取r个元素，并按顺序排列。我们能有多少种可能的排列方式？答案依赖于列表中的元素能否重复。若不允许重复，即为无重复抽样方法；若允许重复，则是重复抽样方法。我们可以将问题看做从盒子里面抽取带标签的小球，在第一种类型的抽样中，我们没抽样一次，盒子里的小球就会少一个。在第二类抽样 中，我们没进行一次从抽样，就将抽到的小球放回盒子里。
  当我们抽取完之后，就会有r个小球依次按照抽取顺序排列。
  那么，我们如何来计算抽样的可能样本数目呢？首先，假设抽样是重复呢，那么当我们抽取第一个小球时，有n种情况，同样的抽取第二、第三个小球时，也有n种情况，依此类推，共有nnn*…n=nr个样本。
  其次，抽样是不可重复的，第一个球有n种抽取方式，第二个球有n-1种抽取方式，第3个球有n-3种抽样方式，第r个球有n-r+1种。则共有n（n-1）（n-2）…（n-r+1）个样本。
  可以得出结论：从n个元素的集合中抽取样本容量为r的样本，重复抽样有nr个不同的有序样本，无重复抽样有n（n-1）*（n-2）…（n-r+1）个不同的有序样本。
  n个元素的有序排列个数，相当于从n个元素中抽取样本容量为n的样本，所以有序排列的个数是n！。

组合

  我们现在将注意力从计算排列数转到计算组合数上。我们对于抽取的样本不再按照顺序排列，而是更关心抽取的样本成分。我们可以得到，如果从n个对象的集合中无重复地抽取r个，不考虑他们的抽取顺序，问有多少个可能的样本呢。这里我们将借用到排列的公式。由乘法原理，有序样本的个数等于无序样本个数乘以每一样本的有序排列数，因为有序样本的个数是n（n-1）（n-2）…（n-r+1）。容量r的样本有r！个排列数，所以无序样本的个数是[n（n-1）（n-2）…（n-r+1）]/r!。可以记为（n r）（上下排列）。

  若将n个对象分成r个类，第i个类含有ni个对象，i=1,2,3…,r，那么这种分类方式共有：n！/(n1！n2！…nr！)

错排

  错排指的是有n个元素，他们本来都对应一个自己的独有位置，当我们将这些元素随机的放到位置上，问每一个元素都不在自己对应的位置上的概率为多少。
  错排问题是一个有名的递推问题。首先我们知道了n个元素有n！种排列方式，设容量为n的错排的排列数为Dn，那么容量为n-1的错排的排列数为D(n-1), 容量为n-2的错排的排列数为D(n-2)。当我们将第n个元素放到某个位置k，除去他本身的位置，还有n-1种放法。当我们放置第k个位置对应的元素时，就有两种选择：
  （1）是将k放置在第n个元素的位置上，那么剩下的n-2个元素又构成了新的容量为n-2错排问题，有Dn-2种放法。
  （2）使得k不放在第n个元素的位置上，这时候我们可以看，放置完第n本书后，手上这本书k不能放到第n个元素的位置上，而剩下的n-2本书也不能放在对应的自己的位置上，这不就正好又构成了以个容量为n-1的错排问题吗，这种情况有D(n-1)种放法。
  结合乘法公式，可以得到Dn=(n-1)(D(n-1)+ D(n-2))。这里的n-1正是第n本书放置时的n-1种放法。
  我们可以轻易的得到D2=1，D3=2，可以根据递推公式求得任意数量的错排。