C++手撕AVL树

AVL树

之前我们讲了二叉搜索树的相关内容，但是也了解到二叉搜索树有其自身的缺陷，就是当插入的元素有序或者接近有序，退化成单支树的时候，他的时间复杂度就会退化成O(N)，因此我们需要对他进行优化，有两种，一种是AVL树，也就是平衡二叉树，另一种是红黑树，这里我们先介绍AVL树

概念

在发现这个问题之后，两个俄罗斯数学家发明了解决这个问题的一种办法

当向二叉搜索树中插入节点之后，检查每个节点的左右子树高度只差绝对值不超过一，否则需要进行调整

这样就能降低树的高度，从而减少平均的搜索长度

一棵AVL树是空树或者有如下性质

• 左右子树都是AVL树
• 左右子树高度差（平衡因子）的绝对值不超过1

例如

节点

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode {
   
	AVLTreeNode<K, V>* _left; // 左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right; // 右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点

	pair<K, V> _kv; // 键值对

	int _bf; // 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0) {
   }
};

插入

AVL树与二叉搜索树的区别就是引入了平衡因子，而在插入的时候就需要考虑到

但是插入时就要考虑到破坏平衡因子的条件，我们就需要进行调整，也就是说分两步，按照二叉搜索树的方式插入节点，再对树进行调整

我们用右子树高度减去左子树高度作为该树的平衡因子，因此当左子树插入一个新节点高度加一时，平衡因子减一即可，右子树插入一个新节点高度加一时，平衡因子加一即可

当平衡因子更新之后，就有可能出现不平衡的状态了

1. 更新后为0，说明更新之前为正负1，插入后调整为0，此时不需要沿父节点向上更新平衡因子
2. 更新后为正负1，说明更新前为0，插入后调整为正负1，此时需要沿父节点向上更新平衡因子
3. 更新之后为正负2，此时不平衡，需要进行旋转处理

此时我们就需要对旋转进行分情况讨论了，有四大类情况

右单旋

原本的状态如下

插入一个新节点

右单旋

具体操作是将30的右子树给60的左子树，然后让30做60的父节点，之后更新平衡因子，这里有几点需要考虑，30的右子树有可能不存在，但是不影响结果

60如果是根节点，旋转完成之后需要转换根节点给30，如果是子树，则需要判断他是他父节点的左子树还是右子树，需要更新

左单旋和右单旋情况类似，这里不过多展开

左右双旋

当新插入的节点在较高左子树的右侧时，旋转一次就无法解决问题了，此时就需要先左旋，再右选，如图

插入节点

先以30为中心左单旋

再以90为中序右单旋

旋转之后再更新平衡因子即可

同理的，如果是右子树较高的左子树插入，则需要先右旋再左旋

template<class K, class V>
class AVLTree {
   
	typedef AVLTreeNode<K, V