递归（迭代）——变态跳台阶

最新推荐文章于 2019-11-29 15:30:28 发布

原创最新推荐文章于 2019-11-29 15:30:28 发布 · 183 阅读

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本文详细解析了青蛙跳台阶问题，给出了当青蛙可以跳任意1到n阶时的跳法总数计算公式，并提供了两种实现方法：递归和迭代。通过数学推导，总结出了简洁的递推公式。

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目解析
根据上一个题目：青蛙只跳1或2可以得出是一个斐波那契问题，即a[n]=a[n-1]+a[n-2],那么能跳1,2,3个台阶时a[n]=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3],……

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

说明： 
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1) 
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
    可以得出：
    f(n) = 2*f(n-1)
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：
        | 1       ,(n=0 ) 
f(n) =  | 1       ,(n=1 )
        | 2*f(n-1),(n>=2)

方法1：递归

function JumpFloorII(target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
    console.log(JumpFloorII(2));

方法2：迭代

function jumpFloorII(number) {
        var f=1,fn=1;
        for(var i=2;i<=number;i++){
            fn=2*f;
            f=fn;
        }
        return fn;
    }