离散数学中等价关系的认识

等价关系的定义：设R是集合A的二元关系，若R是自反的，对称的，传递的，则称R是等价关系。

由定义可知，所谓等价关系就是具有自反性，对称性和传递性的二元关系。

(1)如何满足自反性？

定义：设R是集合A的二元关系，若对任一x属于A，都有<x,x>属于R，则R是自反的。

注意，集合A中的每一个元素都自相关，且都属于R。

(2)如何满足对称性？

定义：设R是集合A的二元关系，若对任一对x,y属于A，每当<x,y>属于R时，就有<y,x>属于R，则R是对称的。

注意，在集合R中，(a,b)存在，则(b,a)就一定存在。

(3)如何满足传递性？（整除关系，同组关系等）

定义：设R是集合A的二元关系，若对任意的x,y,z属于A，每当xRy且yRz时，就有xRz，则R是传递的。

判别法，R是A是的关系具有传递性的充要条件是a(i,j)=1,则a(i),a(j)必同时为1.

因为“同组关系”具有自反性，对称性，传递性。可得出结论等价关系实际上就是同组关系。另外“模的同余关系”也是等价关系。

等价关系与划分：等价关系与划分是一一对应的。所以可以利用划分来求等价关系。

何为划分？设A1，A2，A3...An为A的子集，满足条件：A1，A2，A3...An的并集是A；A1，A2，A3...An中任何两个的交集为空，把以A1，A2，A3...An为元素构成的集合S={A1，A2，A3...An}称为A的一个划分。

其它一些知识点：

1，空关系是反自反的，对称的，传递的

2，全域关系是自反的，对称的，传递的。属于等价关系。

3，恒等关系是自反的，对称的，反对称的，传递的。属于等价关系。（A上的二元关系{<a,a>|a属于A}为恒等关系）

反对称定义：若xRy且yRx,则必有x=y.

反自反定义：任一x属于A，都<x,x>不属于R。

4，设P={<a,b>|a,b属于R，且a<=b} ,自反，反对称，可传递

设P={<a,b>|a,b属于R，且a=b}自反，对称，反对称，可传递。恒等关系。

设P={<a,b>|a,b属于N,且a|b}则自反，反对称，可传递

相容关系：具有自反(自回路），对称（两点双向连接）性的二元关系

注意，等价关系是具有传递性的相容关系。

偏序关系：就有自反（自回路），反对称（单向连接），传递等性质的二元关系。