【离散数学】等价关系与等价类，相容关系和偏序关系举例

最新推荐文章于 2025-04-16 19:23:27 发布
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分类专栏： 离散数学
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集合中的三种关系

等价关系举例

相容关系举例

偏序关系举例

等价类的定义

等价关系与等价类的例题

商集的定义

集合中的三种关系

等价关系：设R为定义在集合A上的关系，若R是自反的，对称的，传递的，则R称为等价关系

相容关系：设R为定义在集合A上的关系，若R是自反的和对称的，则R称为等价关系

序关系（偏序关系）：设A是一个集合，若A上的关系R是自反的，反对称的，传递的，则R是A上的偏序关系

等价关系举例

等价关系可以简单理解成我们实数集上的等于关系，等于关系应该算等价关系的子集。

当然，离散数学中也对等价关系做了抽象，比如实数集上的同余模k关系。

再抽象一点，比如通信基站之间的通信关系，通信基站A可以和自己通信（类似于我们在调试的时候在地址栏输入localhost回环地址）【自反性】，基站A可以和相邻的基站B通信，那么基站B也能和基站A通信（正常情况下）【对称性】，基站A可以和基站B通信，基站B可以和基站C通信，那么基站A通过B的中转也能和基站C通信ÿ

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对等价关系和等价类的认识
09-20
此论文只是简单的介绍了一下等价关系和等价类的定义、性质、作用和一些与之有关的例子.由于这些都是比较抽象的知识,所以尽量使用最通俗易懂的语言.
离散数学等价关系与偏序关系PPT课件.pptx
10-09
在离散数学中，等价关系和偏序关系是两个非常重要的概念。等价关系是指在一个集合上定义的关系，使得集合中的元素可以根据某种规则分组，而偏序关系则是指在一个集合上定义的关系，使得集合中的元素可以根据某种规则...
【离散数学】九章：关系 - 等价关系
m0_74195626的博客
05-03 8961
等价关系、等价关系、等价的元素 等价类、代表元 等价类与划分、等价类与商集
软件测试之：黑盒测试
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nhb000000的博客
04-16 1242
考虑多个输入之间的相互组合、相互制约的关系指导测试用例的选择，指出需求规格说明描述中存在的问题能够帮助测试人员按照一定的步骤，高效率地开发测试用例因果图法是一种严格地将自然语言规格说明转化为形式语言规格说明的方法，可以指出规格说明存在的不完整性和二义性。
离散数学 习题篇 —— 等价关系的计数
weixin_44941062的博客
10-31 8013
题目： 集合A(1≤∣A∣≤100)上不同的等价关系一共多少个？ 输入格式: 一行，一个整数n（1≤n≤100），表示集合A的元素个数。 输出格式: 集合A上不同等价关系的个数模109+7，即输出其个数模1000000007。（因为当∣A∣比较大时，A上的等价关系数是个巨大的数字，比如∣A∣=100时，其上等价关系的个数是个116位的数字。） 输入样例1: 4 输出样例1: 15...
等价关系
xuguoli_beyondboy的专栏
08-21 7380
定义：集合S上的关系≡\equiv ,称为S上为等价关系，当且仅当它在S上是对称的，自反的，传递的。 例如： x=x x=y意味着y=x x=y且y=z意味着x=z 可以使用等价关系将集合S划分为等价类，S的两个元素x和y属于同一等价类，当且仅当≡\equiv ，例如，有12个编号为0至11元素： 0≡\equiv 4,3≡\equiv 1,6≡\equiv 10,8≡\equiv 9,7≡\
离散数学之特殊关系之等价关系
weixin_46200327的博客
06-26 1万+
先引进集合的划分：给定非空集合A，若S = {S₁，S₂ ，…，Sn}，且 ①Si ⊆ A，且Si ≠ Ø ， i = 1,2,…n； ②Si ∩ Sj = Ø，i ≠ j，i,j = 1,2,…n； ③S₁∪S₂∪…∪Sn = A； 则集合S称为集合A的一个划分，而S₁，S₂ ，…，Sn 称为这个划分的类或块 1. 等价关系的定义 设R是定义在非空集合A上的关系，若R具有自反性，对称性和传递性，则称R是A上的等价关系。 . . 2. 等价类 (1) 定义： 设R是非空集合A上的一个等价关系，∀x∈A.
离散数学等价关系
xian653617125的博客
12-29 1037
等价关系 同余关系 例 等价类 例 等价类性质 商集 例 覆盖和划分
离散数学等价关系与偏序关系PPT学习教案.pptx
10-10
离散数学等价关系与偏序关系PPT学习教案.pptx
离散数学等价关系和偏序关系
06-27
离散数学中的等价关系和偏序关系是两种基本的数学结构，它们在集合论和图论中都有广泛的应用。 1. **等价关系（Equivalence Relation）**: 等价关系是一个关系，满足三个性质：自反性（对所有元素a，aRa）、对称性...
基于Java的离散数学关系与运算课程设计源码
10-02
该项目包含了多个文件，这些文件从不同方面展现了如何使用Java语言来实现离散数学中的关系和运算。首先，它包含8个Java类文件，这些文件定义了项目的基础设施，如数据结构的实现、算法的封装以及与其他类的交互方式...
等价关系、等价类与划分
sinat_20471177的博客
07-13 3万+
等价关系、等价类与划分 文章目录等价关系、等价类与划分等价关系的定义等价类等价类的性质集合的划分商集等价关系与划分的一一对应 等价关系的定义 定义：设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一 个等价关系，若<x,y> ∈R ，称x等价于y，记作x~y。 （即R同时满足自反性、对称性、传递性，则R为A上的等价关系） 例1： 设A={1,2...,8}，如下定义A上的关系R： R={<x,y>|x,y≡∈A∧x
3-10 等价关系与等价类
tang7mj的博客
03-14 2044
自反性：对于集合A中的任意元素a，都有(a, a) ∈ R。对称性：如果(a, b) ∈ R，则(b, a) ∈ R。传递性：如果(a, b) ∈ R 且 (b, c) ∈ R，则(a, c) ∈ R。如果R是集合A上的等价关系，那么对于A中的任何元素a，由所有与a相等的元素x组成的集合a，称为元素a形成的等价类。等价关系与等价类的讨论深化了我们对集合理论的理解，展示了数学中如何通过定义和定理来揭示结构之间的深层联系。
-离散数学-期末练习题解析
unseven的博客
12-19 2万+
一、填空 A,B,C表示三个集合，图中阴影部分的集合的表达式为_______ (B ⊕ C) - A ⊕表示对称差，A⊕B为表示（A∪B)-(A∩B)，该图表示B与C的对称差还要减去与A相交的部分 公式
等价类划分例题
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靖东的博客
01-09 3万+
“6到18个字符，可以使用字母、数字、下划线，需已字母开头”。那么有效等价类就应该是 输入条件 有效等价类 无效等价类 符合要求的邮件地址 6---18个字符           (1) 小于6个字符          (6) 大于18个字符         (7)
【集合论】等价关系 ( 等价关系概念 | 等价关系示例 | 等价关系与闭包 )
让 学习 成为一种 习惯 ( 韩曙亮 の 技术博客 )
10-08 2万+
一、等价关系 、 二、等价关系示例 、 三、等价关系与闭包示例 、
离散数学 等价类 等价关系 划分
aaronlyt的专栏
12-11 3万+
等价关系： 如果关系R在集合A上是自反的，对称的和可传递的，就称关系R是集合A上的等价关系 例如：模m同余关系便是整数集上的等价关系 等价类：设R是集合A上的等价关系，与A中的一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类 A的关于R的等价类记作[a]R 与元素a有关系的意思，即对于元素a,凡是满足aRb的元素b,都称之为有关系 例如:对于模4同余关系 【0】={
(离散数学)相容关系与相容类
2301_79580018的博客
12-20 631
二元关系有哪些特性
03-28
<think>好的，用户现在问的是“二元关系有哪些特性”。之前我们讨论了对偶图和自对偶图，现在转向了离散数学中的另一个主题——二元关系。我需要先确认用户的需求，可能他们正在学习离散数学或者图论相关的课程，需要理解二元关系的基本特性。 首先，要回顾二元关系的定义：集合A到B的二元关系是笛卡尔积A×B的子集。当A=B时，称为A上的二元关系。接下来，需要列举常见的特性，比如自反性、对称性、传递性等。这些是二元关系最基础也是最重要的特性，用户可能希望得到清晰的解释和例子。 然后，用户可能不太清楚这些特性的具体应用或者如何判断一个关系是否具有这些特性。比如，自反性要求每个元素和自己有关系，比如实数集合上的“≤”关系，而对称性则是如果aRb则bRa，比如“同学关系”。传递性则像“祖先关系”，如果a是b的祖先，b是c的祖先，那么a是c的祖先。 接下来是反自反性、反对称性，这些可能相对复杂一些。需要举例说明，比如“父子关系”是反自反的，因为没有人是自己的父亲；而“≤”是反对称的，因为如果a≤b且b≤a，则a=b。 等价关系和偏序关系是两个重要的分类。等价关系需要自反、对称、传递，比如“等于”或者“模n同余”。而偏序关系需要自反、反对称、传递，比如“≤”或集合的包含关系。用户可能需要区分这两者的不同，以及它们在实际中的应用，比如分类或排序。 此外，可能还需要提到其他特性，如完全性、逆关系、闭包等，但用户的问题主要集中在“有哪些特性”，所以可能需要控制信息的深度，避免过于复杂。要确保每个特性都有明确的定义和例子，帮助用户理解。 需要检查是否有遗漏的重要特性，比如是否提到了相容关系（自反和对称），或者非对称性，比如“严格小于”关系。同时，要确保术语使用正确，比如传递闭包和自反闭包的定义是否准确。 最后，总结部分要简明扼要，强调这些特性在数学和计算机科学中的应用，比如数据库关系模型、算法设计等，让用户了解学习这些概念的实际意义。可能还需要提醒用户，如果有具体例子需要分析，可以进一步讨论，以促进更深的理解。</think>以下是关于**二元关系特性**的逐步解释： --- ### **1. 基本定义** **二元关系**指集合$A$到集合$B$的子集$R \subseteq A \times B$。若$A = B$，则称$R$为**$A上的二元关系**。例如： - 自然数集合$\mathbb{N}$上的“小于”关系$R = \{(a,b) \mid a < b\}$。 - 人群中的“朋友”关系$R = \{(x,y) \mid x \text{是} y \text{的朋友}\}$。 --- ### **2. 核心特性** 以下特性针对**集合$A$上的二元关系$R$**： #### **(1) 自反性 (Reflexivity)** - **定义**：若对任意$a \in A$，都有$(a, a) \in R$，则称$R$是自反的。 - **示例**：实数集上的“$\leq$”关系（每个数$\leq$自身）。 - **非自反示例**：自然数集上的“$<$”关系（没有数$<$自身）。 #### **(2) 对称性 (Symmetry)** - **定义**：若对任意$(a, b) \in R$，都有$(b, a) \in R$，则称$R$是对称的。 - **示例**：人群中的“同学”关系（若$a$是$b$的同学，则$b$也是$a$的同学）。 - **非对称示例**：实数集上的“$<$”关系（若$a < b$，则$b \not< a$）。 #### **(3) 传递性 (Transitivity)** - **定义**：若$(a, b) \in R$且$(b, c) \in R$，则必有$(a, c) \in R$。 - **示例**：集合包含关系“$\subseteq$”（若$A \subseteq B$且$B \subseteq C$，则$A \subseteq C$）。 - **非传递示例**：人群中的“父子”关系（若$a$是$b$的父亲，$b$是$c$的父亲，$a$不是$c$的父亲）。 #### **(4) 反自反性 (Irreflexivity)** - **定义**：若对任意$a \in A$，$(a, a) \notin R$，则称$R$是反自反的。 - **示例**：自然数集上的“$<$”关系。 - **注意**：反自反性 ≠ 非自反性。例如“$\leq$”是非自反的吗？不，它是自反的！ #### **(5) 反对称性 (Antisymmetry)** - **定义**：若对任意$(a, b) \in R$且$(b, a) \in R$，则必有$a = b$。 - **示例**：实数集上的“$\leq$”关系（若$a \leq b$且$b \leq a$，则$a = b$）。 - **非反对称示例**：集合的“非真包含”关系（若$A \subseteq B$且$B \subseteq A$，则$A = B$，但这里实际是反对称的，需注意定义）。 --- ### **3. 关系分类** 根据特性组合，二元关系可分为几类： #### **(1) 等价关系 (Equivalence Relation)** - **条件**：自反、对称、传递。 - **示例**： - 整数集上的“模$n$同余”关系（如$a \equiv b \pmod{3}$）。 - 几何中的“全等”关系。 #### **(2) 偏序关系 (Partial Order)** - **条件**：自反、反对称、传递。 - **示例**： - 集合的包含关系“$\subseteq$”。 - 实数集上的“$\leq$”。 #### **(3) 严格偏序关系 (Strict Partial Order)** - **条件**：反自反、传递（自动反对称）。 - **示例**：自然数集上的“$<$”。 #### **(4) 相容关系 (Tolerance Relation)** - **条件**：自反、对称，但**不要求传递**。 - **示例**：人群中的“有共同爱好”关系。 --- ### **4. 其他重要概念** #### **(1) 逆关系 (Inverse Relation)** - **定义**：$R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}$。 - **性质**：若$R$对称，则$R = R^{-1}$。 #### **(2) 关系的闭包 (Closure)** - **自反闭包**：向$R$中添加所有缺失的$(a, a)$，使其自反。 - **对称闭包**：向$R$中添加所有缺失的$(b, a)$，使其对称。 - **传递闭包**：通过添加所有可能的传递路径扩展$R$（如$R^* = R \cup R^2 \cup R^3 \cup \cdots$）。 --- ### **5. 总结** - **核心特性**：自反性、对称性、传递性、反对称性、反自反性。 - **典型分类**：等价关系（分类）、偏序关系（排序）、相容关系（模糊匹配）。 - **应用领域**：数据库关系模型、算法设计（如拓扑排序）、社交网络分析等。 若有具体关系需要分析特性，可提供示例进一步探讨！
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