算法导论 — 思考题7-6 对区间的模糊排序

（对区间的模糊排序）考虑这样的一种排序问题：我们无法准确知道待排序的数字是什么。但对于每一个数，我们知道它属于实数轴上的某个区间。也就是说，我们得到了$n$个形如$[a_i,b_i]$的闭区间，其中$a_i\le b_i$。我们的目标是实现这些区间的模糊排序，即对$j=1,2,\dots ,n$，生成一个区间的排列$<i_1,i_2,\dots ,i_n>$，且存在$c_j\in [a_{i_j},b_{i_j}]$，满足$c_1\le c_2\le \dots \le c_n$。
　　a. 为$n$个区间的模糊排序设计一个随机算法。你的算法应该具有算法的一般结构，它可以对左边端点（即$a_i$的值）进行快速排序，同时它也能利用区间的重叠性质来改善时间性能。（当区间重叠越来越多的时候，区间的模糊排序问题会变得越来越容易。你的算法应能充分利用这一重叠性持。）
　　b. 证明：在一般情况下，你的算法的期望运行时间为$\Theta (n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。但是，当所有的区间都有重叠的时候，算法的期望运行时间为$\Theta (n)$（也就是说，存在一个值$x$，对所有的$i$，都有$x\in [a_i,b_i]$。）你的算法不必显式地检查这种情况，而是随着重叠情况的增加，算法的性能自然地提高。
　　
　　解
　　a.
　　对区间的模糊排序，简单来说只需要在每个区间上任意取一点$c_i$，对$c_i$进行排序即可。实际上，$“$任意取区间的一点$”$变成$“$取区间左侧端点$”$也是可行的。故对区间的模糊排序，可以转变成对区间左侧端点的排序。
　　我们现在考虑区间重叠的情况。如果有多个区间重叠，那么在排好序的序列中，这些重叠的区间之间的顺序是可以任意的。对于排序来说，可以认为这些重叠的区间是$“$相等$”$的关系。例如，考虑$2$个区间$[a_i,b_i]$和$[a_j,b_j]$，当$a_i\le b_j$并且$a_j\le b_i$时，两个区间就是重叠的，此时可以认为$[a_i,b_i]=[a_j,b_j]$，如下图所示。
　　
　　然而，这种$“$相等$”$关系不具备传递性，即$[a_i,b_i]=[a_j,b_j]$并且$[a_j,b_j]=[a_k,b_k]$成立，并不代表$[a_i,b_i]=[a_k,b_k]$成立。如下图所示$[a_i,b_i]$与$[a_j,b_j]$重叠，$[a_j,b_j]$与$[a_k,b_k]$重叠，但是$[a_i,b_i]$与$[a_k,b_k]$并不重叠。
　　
　　那么我们应当如何判断多于$2$个的区间互相之间是$“$相等$”$的。以$3$个区间为例，$[a_i,b_i]$、$[a_j,b_j]$和$[a_k,b_k]$。先判断$[a_i,b_i]$和$[a_j,b_j]$是否重叠，如果重叠，找出重叠的范围，以下图为例，重叠的范围是$[a_j,b_i]$。我们再比较重叠范围$[a_j,b_i]$与第$3$个区间$[a_k,b_k]$，如果二者重叠，说明$3$个区间是完全重叠的，它们互相之间也是$“$相等$”$的。如果还有第$4$个区间，那我们就需要比较前$3$个区间的重叠范围与第$4$个区间。
　　
　　综合以上分析，我们可以借用思考题7-2的针对相同元素的快速排序。在每次递归调用PARTITION时，先选定最后一个区间作为主元。在遍历其他区间时，如果遇到一个区间与主元有重叠，则判定二者$“$相等$”$，并且以二者的重叠区域作为新的主元；如果判定二者$“$不相等$”$，则按照区间左侧端点的大小关系将区间划分到对应的子数组。由以上步骤可知，在遍历过程中，主元区间是有可能变化的。
　　以下只给出区间模糊排序中PARTITION过程的伪代码。
　　
　　
　　b.
　　如思考题7-2的结论，该算法的期望运行时间为$\Theta (n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。
　　如果所有区间都重叠，这意味着所有区间都$“$相等$”$，这种情况下PARTITION过程只会递归调用一次，所以此时算法的运行时间为$\Theta (n)$。