算法导论 — 思考题7-5 三数取中划分

（三数取中划分）一种改进RANDOMIZED-QUICKSORT的方法是在划分时，要从子数组中更细致地选择作为主元的元素（而不是简单地随机选择）。常用的做法是三数取中法：从子数组中随机选出三个元素，取其中位数作为主元（见练习7.4-6）。对于这个问题的分析，我们不妨假设数组$A[1..n]$的元素是互异的且有$n\ge 3$。我们用$A’[1..n]$来表示已排好序的数组。用三数取中法选择主元$x$，并定义pi=Pr{x=A’[i]}p_i = Pr\{x = A’[i]\}pi​=Pr{x=A’[i]}。
　　a. 对于$i=2,3,\dots ,n-1$，请给出以$n$和$i$表示的$p_i$的准确表达式（注意$p_1=p_n=0$）。
　　b. 与平凡实现相比，在这种实现中，选择$x=A^{\prime }[\lfloor (n+1)/2\rfloor ]$（即$A[1..n]$的中位数）的值作为主元的概率增加了多少？假设$n\to \infty$，请给出这一概率的极限值。
　　c. 如果我们定义一个“好”划分意味着主元选择$x=A’[i]$，其中$n/3\le i\le 2n/3$。与平凡实现相比，这种实现中得到一个好划分的概率增加了多少？（提示：用积分来近似累加和。）
　　d. 证明：对快速排序而言，三数取中法只影响其时间复杂度$\Omega (n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$的常数项因子。
　　
　　解
　　a.
　　$A’[1..n]$是一个已排好序的数组，选择其中一个元素$x=A’[i]$作为主元。该元素将$A’[1..n]$分为$3$部分：$A’[1..i-1]$、$A’[i+1..n]$以及$A’[i]$本身。如果采用三数取中法，要选中$A’[i]$作为主元，只有一种情况：在$A’[1..i-1]$中任意选取一个元素，在$A’[i+1..n]$中任意选取一个元素，再选取$A’[i]$本身。这种情况一共有$(i-1)(n-i)$种选法。而从$A’[1..n]$中选取3个元素一共有$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$种选法。因此，选中$A’[i]$作为主元的概率为
　　
　　b.
　　在PARTITION的平凡实现中，任意一个元素都等可能地被选为主元，因此选择中位数作为主元的概率为$q_M=1/n$。
　　采用三数取中法，分两种情况讨论：
　　(1) $n$为偶数
　　
　　(2) $n$为奇数
　　
　　从以上分析可以看出，当$n$趋近于$\infty$时，$p_M/q_M$趋近于$1.5$。因此，在$n$足够大时，三数取中法选取中位数作为主元的概率大约是平凡实现的$1.5$倍。
　　
　　c.
　　在PARTITION的平凡实现中，产生一个好的划分的概率为
　　
　　而在三数取中法中，产生一个好的划分的概率为
　　
　　假如$n$足够大，三数取中法产生好的划分的概率近似等于$li{m}_{n\to \infty }P=\frac{13}{27}$。
　　因此，三数取中法得到一个好的划分的概率大约是平凡实现的$\frac{13}{27}/\frac{1}{3}=\frac{13}{9}$倍。