高斯过程之条件分布(Conditional Distribution)

高斯过程之条件分布(Conditional Distribution)

设$X=(X_1,X_2)\in \mathbb{R}^{m\times n}\sim N(\mu,\Sigma)$，其中$X_1\in \mathbb{R}^m, X_2\in \mathbb{R}^n,\mu=(\mu_1,\mu_2),\mu_1=\mathbb{E}(X_1),\mu_2=\mathbb{E}(X_2),\Sigma\in \mathbb{R}^{(m+n)\times (m+n)}$.
这里,

$$\Sigma= \begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \\ \end{pmatrix},cov(X_1)=\Sigma_{11},cov(X_2)=\Sigma_{22}$$
由此可知， $\left\{\begin{array}{ll} X_1\sim N(\mu_1,\Sigma_{11})\\X_2\sim N(\mu_2,\Sigma_{22}) \end{array}\right.$，即联合高斯 $\implies$边缘高斯。那么 $X_2$在 $X_1$条件下的条件分布为
$$f_{X_2|X_1}(x_2|x_1)=\frac{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{f_{X_1}(x_1)}$$
注意，这里的 $X_1,X_2,x_1,x_2$都是列向量（随机向量）。为了计算上面这个条件分布，必须知道边缘分布 $f_{X_1}(x_1)$和联合分布 $f_{X_2|X_1}(x_2|x_1)$，这两个分布的形式如下：

fX1(x1)=C1exp(−12(x