洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b

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本文介绍了一种使用莫比乌斯反演解决特定数学问题的方法，该问题涉及计算满足特定条件的数对(x,y)的数量。通过应用莫比乌斯反演并结合容斥原理，文章提供了一个有效的解决方案。

题目描述

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

输出格式：

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

输入输出样例

输入样例#1：

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

输出样例#1：

14
3

说明

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

看到gcd，又是两个求和符号，不假思索——莫比乌斯反演！

问题是我们只会 a=1，c=1 的情况（即洛谷 P3455 [POI2007]ZAP-Queries ），怎么办？

没事，我们用一个容斥原理转换成了：

$$Ans(b,d)-Ans(a-1,d)-Ans(b,c-1)+Ans(a-1,c-1)$$

而这个都是我们会求解的。

于是问题就解决了。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN],sum[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
	int m=MAXN-10;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!np[i]){
			prime[++k]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
			np[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
			else mu[prime[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
long long solve(int n,int m,int d){
	long long s=0;
	if(n>m)swap(n,m);
	n/=d;m/=d;
	for(int i=1,last=1;i<=n;i=last+1){
		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
		s+=(long long)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
	}
	return s;
}
void work(){
	int a,b,c,d,k;
	a=read();b=read();c=read();d=read();k=read();
	if(a>b)swap(a,b);
	if(c>d)swap(c,d);
	long long ans=solve(b,d,k)-solve(a-1,d,k)-solve(b,c-1,k)+solve(a-1,c-1,k);
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
	int t=read();
	make();
	while(t--)work();
	return 0;
}