Leetcode 53最大子序列和

	int maxSubArray( vector<int>nums) {
		int len = nums.size();
		if (len == 0)return 0;
		int* dp= new int[len];
		dp[0] = nums[0];
		for (int i = 1;i < len;i++) {
			dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
		}

		int res = dp[0];
		for (int i = 1;i < len;i++) {
			res = max(res, dp[i]);
		}
		return res;
	}
	

动态规划

第 1 步：定义状态

既然一个连续子数组一定要以一个数作为结尾，那么我们就将状态定义成如下。

dp[i]：表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和。

• 那么为什么这么定义呢？这是因为这样定义状态转移方程容易得到。
• 怎么想到这么定义的呢？凭经验，以前做过类似问题，例如「力扣」第 300 题：“最长上升子序列”，或者说是凭感觉。这两道题都是动态规划的经典问题，当做例题来学习未尝不可，我学习动态规划的时候，就是直接看别人的博客和题解的。

第 2 步：思考状态转移方程

根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且 dp[i] 所表示的连续子序列与 dp[i - 1] 所表示的连续子序列（有可能）就差一个 nums[i] 。

假设数组 nums 全是正数，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。

在一般情况下 dp[i - 1] 有可能是负数，例如前几个数都是负数，突然来了一个正数。

于是分类讨论：

• 如果 dp[i - 1] >= 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面。

• 如果 dp[i - 1] < 0，那么加上前面的数反而越来越小了，于是“另起炉灶”，单独的一个 nums[i]，就是 dp[i]。

以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出如下状态转移方程：

 

 

 

记为“状态转移方程 1”。

状态转移方程还可以这样写，反正求的是最大值，也不用分类讨论了，就这两种情况，取最大即可，因此还可以写出状态转移方程如下：

记为“状态转移方程 2”。

动态规划的问题经常要分类讨论，这是因为动态规划的问题本来就有最优子结构的特征，即大问题的最优解通常由小问题的最优解得到，那么我们就需要通过分类讨论，得到大问题的小问题究竟是哪些。

第 3 步：思考初始值

dp[0] 根据定义，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。

第 4 步：思考输出

这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去。

输出应该是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值。 同样的情况也适用于「力扣」第 300 题：“最长上升子序列”。我经常在这一步“摔跟头”，请各位也留意。