L1distance和L2distance区别

L1distance和L2distance区别:
L1distance即曼哈顿,即城市距离,各维度距离之和
L2distance即欧式距离,两点间直线距离
参考cs231n课程的一幅图,图上方形和圆形上的点都有相同距离。
在这里插入图片描述

### 差分隐私中 L1 L2 全局敏感度的定义与区别 #### 定义 在差分隐私领域,全局敏感度(Global Sensitivity, GS)用于量化两个相邻数据集之间的最大差异。对于目标函数 $ f : D \to R^d $ ,其中 $ D $ 是数据集集合,$ R^d $ 是 d 维实数空间,L1 L2 全局敏感度分别定义如下: - **L1 全局敏感度 (GS$_{L1}$)** L1 全局敏感度衡量的是两个相邻数据集 $ D $ $ D' $ 在目标函数 $ f $ 下的结果向量间的曼哈顿距离的最大值: \[ GS_{L1}(f) = \max_{D,D'} \|f(D) - f(D')\|_1, \] 其中 $\|v\|_1 = \sum_{i=1}^{d}|v_i|$ 表示向量 $ v $ 的 L1 范数[^1]。 - **L2 全局敏感度 (GS$_{L2}$)** L2 全局敏感度则衡量欧几里得距离的最大值: \[ GS_{L2}(f) = \max_{D,D'} \|f(D) - f(D')\|_2, \] 其中 $\|v\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{d}v_i^2}$ 表示向量 $ v $ 的 L2 范数[^2]。 --- #### 区别分析 1. **计算方式的不同** - L1 敏感度基于绝对值之进行计算,因此更适合描述稀疏数据的变化情况。即使某些维度上的变化较大,只要其余维度变化较小,整体的影响会被削弱。 - L2 敏感度基于平方根的方式计算,更加注重各维度综合效应。当某单一维度发生显著变化时,其对总敏感度的影响会更大。 2. **应用场合的区别** 高斯机制相较于拉普拉斯机制的优势在于支持更低的噪声水平,这得益于它可以灵活选择使用 L1 或 L2 灵敏度。具体来说: - 如果目标函数 $ f $ 的输出分布在低维空间且较为集中,则 L2 灵敏度通常较低,此时高斯机制能有效减少噪声幅度; - 对于高维稀疏数据而言,由于 L1 灵敏度更能体现真实误差边界,故仍推荐优先选用拉普拉斯机制或针对具体情况优化后的混合策略[^3]。 3. **理论基础的原因** 数学上讲,L1 L2 距离反映了不同的几何结构特征。前者对应于城市街区模型(Manhattan Distance),后者关联球形区域划分(Euclidean Distance)。这种本质差异决定了两者适应不同类型问题的能力有所侧重。 --- ### 总结 综上可知,在设计满足差分隐私要求的具体实施方案时,应当根据实际需求权衡选取恰当的灵敏度测度标准——即要么倾向于保守估计以保障充分安全性(如采用较高者作为上限约束条件下的统一处理办法),要么深入剖析业务逻辑特点后定制精细化解决方案。 ```python import numpy as np def l1_global_sensitivity(f_D, f_D_prime): """Calculate the L1 Global Sensitivity between two function outputs.""" return np.sum(np.abs(f_D - f_D_prime)) def l2_global_sensitivity(f_D, f_D_prime): """Calculate the L2 Global Sensitivity between two function outputs.""" return np.sqrt(np.sum((f_D - f_D_prime)**2)) ``` 上述代码提供了简单的 Python 函数来计算两组数据对应的 L1 L2 全局敏感度。 ---
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