埃氏筛法

最新推荐文章于 2024-02-19 17:51:32 发布

yan_qiu_ynlchrz

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分类专栏：算法整理文章标签：算法

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本文介绍了埃氏筛法的基本原理和时间空间复杂度，该方法用于标记并排除素数表中素数的倍数。同时，还讨论了区间筛的应用，它通过先筛出[2,b]内的素数，然后筛选[a,b]区间内的素数，同样具有O(nlogn)的时间复杂度和O(n)的空间复杂度。" 124631988,10426135,Spring AOP实践：XML配置详解,"['Spring框架', 'Java', '后端开发', '面向切面编程', 'XML配置']

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埃氏筛

埃氏筛的原理就是每次在素数表中将素数 $p$ 的倍数划去，实现简单。

时间复杂度： $O(n\log n)$ 。

空间复杂度： $O (n)$ 。

int prime[N], kp;
bool is_prime[N];
void sieve(int k){
    for (int i = 0; i <= k; ++ i) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    kp = 0;
    for (int i = 2; i <= k; ++ i) if (is_prime[i]){
        prime[kp ++] = i;
        for (int j = i + i; j <= k; j += i) is_prime[j] = false;
    }
}

区间筛

用途：筛出区间 $[a, b]$ 中的素数。

注意到区间 $[a, b]$ 内的合数的最小质因子一定在 $\sqrt{b}]$ 内，所以先用埃氏筛筛出 $\sqrt{b}]$ 内素数，再用这些素数去筛 $[a, b]$ 区间内的素数。

时间复杂度： $\log n)$ 。

空间复杂度： $O (n)$ 。

int prime[N], kp;
bool is_prime[N], seg_prime[N];
void seg_sieve(LL l, LL r){
    for (LL i = 0; i * i <= r; ++ i) is_prime[i] = true;
    for (LL i = l; i <= r; ++ i) seg_prime[i - l] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for (LL i = 2; i * i <= r; ++ i) if (is_prime[i]){
        for (LL j = i + i; j * j <= r; j += i) is_prime[j] = false;
        for (LL j = max(2ll, (l + i - 1) / i) * i; j <= r; j += i)
            seg_prime[j - l] = false;
    }
    kp = 0;
    if (l <= 0 && 0 <= r) seg_prime[0 - l] = false;       // 特判0
    if (l <= 1 && 1 <= r) seg_prime[1 - l] = false;       // ！！！ 特别提醒要特判1
    for (LL i = l; i <= r; ++ i) if (seg_prime[i - l])
        prime[kp ++] = i;
}