【Algorithm】欧拉函数

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已于 2022-06-28 20:23:26 修改

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分类专栏： Algorithm 文章标签：算法欧拉函数

于 2022-06-28 20:18:04 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/y__a__o/article/details/125508126

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该博客介绍了欧拉函数的定义，并通过容斥原理给出计算欧拉函数的算法。提供了一个C语言实现的欧拉函数计算函数，以及使用筛法求解欧拉函数的代码。讨论了如何处理质数和合数的情况，强调了在计算过程中质因子的重要性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧拉函数定义

Alt
可通过容斥原理证明上述 $\phi{(N)}$

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

tip： 当 m，n 互质时， $\phi(m * n)$ = $\phi(m)$ * $\phi(n)$

质数 i 的欧拉函数 phi[i] = i - 1 ：1 ~ i - 1 均与 i 互质；
i * primes[j] （合数）时，

i % primes[j] == 0 时，primes[j] 是 i 的最小质因子，也是primes[j] 的最小质因子，因此 $1-\frac{1}{primes[j]}$ 在 phi[i] 中已经计算过了（ $\phi(N)$ 中只与质因子种类有关而与每个质因子的数目无关）。故只需要将基数 N 进行修订，即为原本的 primes[j] 倍。最终结果为 phi[i] * primes[j]
i % primes[j] != 0 时，primes[j] 不是 i 的质因子，只是 i * primes[j] 的最小质因子，因此不仅要将基数 N 修订为原来的 primes[j] 倍，还需要补上 $1-\frac{1}{primes[j]}$ 这一项。最终结果为 ph[i] * (primes[j] - 1)

筛法求欧拉函数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉


void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}