【Algorithm】堆

手写堆

1. 插入一个数                      heap[++size] = x; up(size);

2. 求集合当中的最小值       heap[1]

3. 删除最小元素                  heap[1] = heap[size]; size--; down(1);

4. 删除任意一个元素           heap[k] = heap[size]; size--; down(k); up(k);

5. 修改任意一个元素           heap[k] = x; down(k); up(k);

前 3 个可以通过 STL 直接实现。

建堆：一个一个往里插，时间复杂度O(n * logn)，而这里的建堆是 O(n)

// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;

// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

桶排序

#include <iostream>

using namespace std;

int const N = 100010;

//h[i] 表示第i个结点存储的值，i从1开始，2*i是左子节点，2*i + 1是右子节点
//size 既表示堆里存储的元素个数，又表示最后一个结点的下标
int h[N], siz; //堆有两个变量h[N]，size; 怎么这里的size和文件里有冲突，只能改成siz了

void down(int u)
{
    int t = u;//t存储三个结点中存在的最小的结点的下标，初始化为当前结点u
    if (u * 2 <= siz && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2; // 左子节点存在并且小于当前结点，更新t的下标
    if (u * 2 + 1 <= siz && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;//右子节点存在并且小于当前结点，更新t的下标
    if (t != u)//如果t==u意味着不用变动，u就是三个结点中拥有最小值的结点下标，否则交换数值
    {
        swap(h[t], h[u]);
        down(t); //交换数值后，t这个结点存储原本u的值，u存储存储t的值（三个数中的最小值）。u不用调整了，但t情况不明，可能需要调整。直到它比左右子节点都小
    }
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]); 
    siz = n; //初始化size,表示堆里有n 个元素

    for (int i = n / 2; i; i --) down(i); //把堆初始化成小根堆，从二叉树的倒数第二行开始，把数字大的下沉

    while (m -- )
    {
        printf("%d ", h[1]);
        h[1] = h[siz];
        siz --;
        down(1);
    }

    return 0;
}

模拟堆

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int h[N], ph[N], hp[N], siz, num = 0;

void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= siz && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= siz && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
     while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while (n--) {
        char op[5];
        scanf("%s", op);
        int x, k;
        if (!strcmp(op, "I")) {
            scanf("%d", &x);
            h[++siz] = x;
            ph[++num] = siz;
            hp[siz] = num;
            up(siz);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) {
            printf("%d\n", h[1]);
        }
        else if (!strcmp(op, "DM")) {
            heap_swap(1, siz);
            siz--;
            down(1);
        }
        else if (!strcmp(op, "D")) {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];
            heap_swap(k, siz);
            siz--;
            up(k);
            down(k);
            // 执行heap_swap后的ph[k]可能就是不原来的ph[k]了
            // 错误：
            // scanf("%d", &k);
            // heap_swap(ph[k], siz);
            // siz--;
            // up(ph[k]);
            // down(ph[k]);
        }
        else {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            up(k);
            down(k); 
        }
    }
    
    return 0;
}