55、随机扩展的LIBOR市场模型与希腊字母计算

随机扩展的LIBOR市场模型与希腊字母计算

随机扩展的LIBOR市场模型

在金融衍生品定价中，无套利条件下的利率期限结构演化是关键问题。方程(13.60)、(13.61)、(13.62)和(13.63)以及不相关布朗运动的假设，完整地刻画了跨期远期利率的无套利演化。需要注意的是，波动率参数的漂移选择并非无套利条件，只要参数的波动率不为零，任何漂移都能产生无套利价格。漂移的选择是为了使波动率期限结构的演化更符合实际市场情况。

扩展的LIBOR框架通过拟合随机波动率系数，让波动率期限结构的演化与市场观测行为相匹配。Rebonato和Joshi提出的方法能够精确对平价利率上限期权（ATM caplets）进行定价，很好地拟合观测到的波动率微笑曲面，并且使波动率期限结构呈现出理想且行为良好的时间齐次演化。

例如，Rebonato和Joshi在2002年生成了1996年三个月内英镑（GBP）远期利率的隐含波动率曲面。他们将随机跳跃 - 扩散模型进行校准，使其在不同执行价格下与市场隐含波动率相匹配。对于1 - 8年不同期限的情况，分别使用所有波动率参数（a、b、c和d）随机（“all stochastic”曲线）和仅d随机（“fit”曲线）两种方式进行校准。从1年、3年、5年和8年期的校准曲线（图13.8 - 13.11）可以看出，“all stochastic”模型比“fit”模型更接近市场隐含波动率曲线，且期限越长，拟合效果越好。

为了将模型校准到利率上限期权，Rebonato和Joshi对公式(13.50)进行修改以处理随机瞬时波动率。具体步骤如下：
1. 由于公式(13.50)的最小化不能精确得出市场利率上限期权价格，通过施加公式(13.17)来计算瞬时