17、有限差分法在期权定价中的应用

有限差分法在期权定价中的应用

1. 有限差分法概述

有限差分法是一种用于数值求解偏微分方程的方法，在期权定价领域有着广泛的应用。它通过将连续的时间和空间离散化，把偏微分方程转化为一组代数方程，从而可以使用计算机进行求解。

2. 显式差分法与隐式差分法

在期权定价中，常用的有限差分法包括显式差分法和隐式差分法。显式差分法使用向前差分来近似时间导数，而隐式差分法使用向后差分。

2.1 隐式差分法原理

当在方程中使用向后差分代替向前差分来计算时间导数 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 时，会得到一个隐式差分格式。在这个格式中，$u_{i+1,j}$ 隐式地依赖于 $u_{i,j+1}$、$u_{i,j}$ 和 $u_{i,j - 1}$。具体方程如下：
[u_{i + 1,j}=\tilde{p} u u {i,j + 1}+\tilde{p} m u {i,j}+\tilde{p} d u {i,j - 1}]
其中，概率 $\tilde{p} u$、$\tilde{p}_m$ 和 $\tilde{p}_d$ 在方程 (5.5) 中定义。将期权的现值 $f {i,j}=e^{-r(T - t_i)}u_{i,j}$ 代入上式，可得到风险中性期望值。

对于看跌期权，有以下边界条件：
- 当股票价格为零时，$f_{i,-M}=X$，$i = 0, 1, \cdots, N$。
- 当股票价格趋于无穷大时，$f_{i,M}=0$，$i = 0, 1, \cdots,