本文详细介绍了排列和组合的基本概念与公式，包括排列公式、组合公式、组合系数与二项式展开的关系，以及物品分堆问题。通过实例解析和相关公式推导，帮助读者深入理解这些重要的数学原理。
1. 排列公式
n n n 个相异物件取 r r r（ 1 ≤ r ≤ n 1 \leq r \leq n 1≤r≤n）个的不同排列总数，为
P r n = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) Prn=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)
特别地，若 n = r n=r n=r，得
P r r = r ( r − 1 ) ⋯ 1 = r ! P_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r! Prr=r(r−1)⋯1=r!
人们常约定把 0 ! 0! 0! 作为 1 1 1。当 r r r 不是非负整数时，记号 r ! r! r! 没有意义。
2. 组合公式
n n n 个相异物件取 r r r 个（ 1 ≤ r ≤ n 1 \leq r \leq n 1≤r≤n）个的不同组合总数，为
C r n = ( n r ) = P r n r ! = n ! r ! ( n − r ) ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) r ! C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!} Crn=(rn)=r!Prn=r!(n−r)!n!=r!n(n−1)⋯(n−r+1)
当 r = 0 r=0 r=0 时，按 0 ! = 1 0!=1 0!=1 的约定，算出 ( n 0 ) = 1 \binom{n}{0} = 1 (0n)=1，这可看作一个约定。
只要 r r r 为非负整数， n n n 不论为任何实数，都有意义。故 n n n 可不必限制为自然数。例如：
( − 1 r ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − r ) / r ! = ( − 1 ) r \binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r (r−1)=(−1)(−2)⋯(−r)/r!=(−1)r
3. 组合系数与二项式展开的关系
组合系数 ( n m ) \binom{n}{m} (mn) 又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：
( a + b ) n = ∑ i = 0 n ( n i ) a i b n − i (a+b)^n = \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i} (a+b)n=i=0∑n(in)aibn−i
利用这个关系式，可得出许多有用的组合公式。例如，令 a = b = 1 a=b=1 a=b=1，得
( n 0 ) + ( n 1 ) + ⋯ + ( n n ) = 2 n \dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n (0n)+(1n)+⋯+(nn)=2n
令 a = − 1 ， b = 1 a = -1，b = 1 a=−1，b=1，则得：
( n 0 ) − ( n 1 ) + ( n 2 ) − ⋯ + ( − 1 ) n ( n n ) = 0 \dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\dbinom{n}{n} = 0 (0n)−(1n)+(2n)−⋯+(−1)n(nn)=0
另一个有用的公式是
( m + n k ) = ∑ i = 0 k ( m i ) ( n k − i ) \dbinom{m+n}{k} = \sum_{i=0}^{k}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{k-i} (km+n)=i=0∑k(im)(k−in)
它是由恒等式 ( 1 + x ) m + n = ( 1 + x ) m ( 1 + x ) n (1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n (1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n 即
∑ j = 0 m + n ( m + n j ) x j = ∑ j = 0 m ( m j ) x j ∑ j = 0 n ( n j ) x j \sum_{j=0}^{m+n} \dbinom{m+n}{j} x^j = \sum_{j=0}^{m} \dbinom{m}{j} x^j \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j}x^j j=0∑m+n(jm+n)xj=j=0∑m(jm)xjj=0∑n(jn)xj
比较两边的 x k x^k xk 项的系数得到的。
其实，这条公式从直观上理解要更容易，即有两堆物品，第一堆有 m m m 件，第二堆有 n n n 件，要从这两堆物品中取出 k k k 件，有多少种取法？显然，我们可以先在第一堆取 i i i 件（ 0 ≤ i ≤ k 0 \leq i \leq k 0≤i≤k），然后在第二堆取 k − i k - i k−i 件，则取法有 ( m i ) ( n k − i ) \binom{m}{i} \binom{n}{k-i} (im)(k−in) 种，把 i i i 的所有取值结果相加，即得上面的公式。
4. 物品分堆
n n n 个相异物件分成 k k k 堆，各堆物件数分别为 r 1 , ⋯ , r k r_1, \cdots, r_k r1,⋯,rk 的分法是
n ! r 1 ! ⋯ r k ! \frac{n!}{r_1! \cdots r_k!} r1!⋯rk!n!
此处， r 1 , ⋯ , r k r_1, \cdots, r_k r1,⋯,rk 都是非负整数，其和为 n n n。注意：这里要计较堆的次序，例如，若有 5 个物体 a ， b ， c ， d ， e a，b，c，d，e a，b，c，d，e 分成 3 3 3 堆，则 ( a c ) ， ( d ) ， ( b e ) (ac)，(d)，(be) (ac)，(d)，(be) 和 ( b e ) ， ( a c ) ， ( d ) (be)，(ac)，(d) (be)，(ac)，(d) 应算作两种不同的分法。如果不考虑次序，还需要再除以 k ! k! k!。
此式常称为多项式系数，因为它是 ( x 1 + ⋯ + x k ) n (x_1+\cdots+x_k)^n (x1+⋯+xk)n 的展开式中 x 1 r 1 ⋯ x k r k x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k} x1r1⋯xkrk 这一项的系数。
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