84、单位圆盘图的反向最短路径问题算法解析

单位圆盘图的反向最短路径问题算法解析

在图论和计算几何领域，单位圆盘图的反向最短路径问题是一个具有重要研究价值的问题。本文将详细介绍解决该问题的算法，包括相关概念的介绍、算法的具体步骤以及时间复杂度分析。

1. 预备知识

在深入探讨算法之前，我们需要了解一些基本的概念和符号。
- 距离表示 ：对于任意半径 $r$，使用 $d_r(p, q)$ 表示在图 $G_r(P)$ 中两个顶点 $p$ 和 $q$ 之间的距离。若 $r \geq r’$，则有 $d_r(p, q) \leq d_{r’}(p, q)$。对于平面上的任意两点 $p$ 和 $q$，$|p - q|$ 表示它们的欧几里得距离。对于点集 $P$ 的任意子集 $P’$ 和平面上的任意区域 $R$，$P’(R)$ 或 $P’ \cap R$ 表示 $P’$ 中包含在 $R$ 内的点的子集。对于任意点 $p$，$x(p)$ 和 $y(p)$ 分别表示其 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。
- CS 算法回顾 ：CS 算法是解决最短路径问题的关键算法。假设我们有按 $x$ 坐标和 $y$ 坐标排序的点集 $P$ 的列表。给定半径 $r$，该算法可以在 $O(n)$ 时间内计算出在图 $G_r(P)$ 中从点 $s$ 到 $P$ 中所有其他点的距离。具体步骤如下：
1. 计算网格 ：计算一个由边长为 $r / \sqrt{2}$ 的正方形单元格组成的网格 $\Psi_r(P)$。若网格 $\Psi_r(P)$ 中的一个单元格 $C’$ 与另一个单元格 $C$ 之间的最小距离不超过 $r$，则称 $C’$ 是