67、基于精确全局控制的粒子组装与半随机超图独立集问题研究

基于精确全局控制的粒子组装与半随机超图独立集问题研究

在算法研究领域，形状组装和独立集问题是两个重要的研究方向。形状组装问题关注如何通过连接粒子到种子瓷砖来构建特定形状，而独立集问题则聚焦于在图或超图中找到最大规模的独立集。本文将深入探讨这两个问题的相关算法和模型。

形状组装问题

1. 贪心算法与最大形状组装问题近似

在维度 $d = 2, 3$ 的情况下，贪心算法是最大形状组装问题（MaxSTAP）的一个 $\Omega(|P|^{-1/d})$ 近似算法。这一结论是由相关定理推导得出的，它为解决 MaxSTAP 问题提供了一种有效的近似方法。

2. 特殊形状的高效算法

• 树状形状
  • 对于树状多联骨牌（由单位正方形组成）和树状多立方体（由单位立方体组成），可以使用贪心算法在 $O(N)$ 时间内判断其是否可构造。这是因为移除具有多个邻居的瓷砖会将多联骨牌或多立方体分割成多个部分，所以只能移除恰好有一个邻居的瓷砖（即叶子）。
  • 关于可移除瓷砖，有两个重要事实：一是移除一个瓷砖不会使其他可移除瓷砖失去可移除的性质；二是如果树状多联骨牌是可构造的，那么移除任何可移除瓷砖后得到的多联骨牌仍然是可构造的。基于这些事实，可以通过迭代应用相关引理得到一个简单的策略来判断树状多联骨牌是否可构造。
• 缩放形状
  • 对于任意多联骨牌，判断其可构造性比树状多联骨牌更为复杂。仅仅限制在角瓷砖（恰好有一个水平和一个垂直邻居的瓷砖）上搜索可