57、图距离标记与路径追踪算法新进展

图距离标记与路径追踪算法新进展

1. 平面无向图距离标记

在计算平面无向图中两点 (v) 和 (v’) 之间的距离 (\delta_G(v, v’)) 时，我们会考虑包含 (v’) 的唯一区域 (R) 的每个空洞 (h)。具体步骤如下：
1. 使用质心分解的顶部部分 ：借助预先存储的前序和后序编号进行导航，判断 (v’) 是否在路径上（若在则终止），或者在路径的左侧还是右侧。此过程的时间复杂度为 (O(\log n))。
2. 处理剩余可能站点 ：到达质心分解顶部部分的叶子节点后，逐个考虑剩余的 (O(\log^2 n)) 个可能站点。这一步的时间复杂度为 (O(\log^2 n))。
3. 递归处理 ：若 (v) 和 (v’) 属于同一连通分量，则在该分量内进行递归计算。

总体而言，解码时间为 (O(\log^3 n))。并且，任何具有 (n) 个节点的平面图都存在一种长度为 (O(\sqrt{n} \log n)) 的距离标记方案，其解码时间为 (O(\log^3 n))。

2. 路径追踪问题概述

在现代马拉松赛事中，尽管为每位选手配备了 RFID 标签，并在赛道上设置了 RFID 阅读器来追踪选手的进度，但仍有选手试图抄近道作弊。为了检测所有可能的抄近道行为，我们需要解决一个组合优化问题，即在马拉松赛道环境中放置最少数量的 RFID 阅读器，以便根据选手经过的 RFID 阅读器序列来确定从起点到终点的每一条可能路径，包括偏离官方赛道的路径。

形式上，我们将马拉松赛道所在的城市道路网络建模为