50、带大小约束的分类聚类的参数化复杂度

带大小约束的分类聚类的参数化复杂度

1. 引言

在聚类问题中，分类聚类是一个重要的研究方向，尤其是在处理带有大小约束的分类聚类问题时，其复杂度分析和算法设计变得尤为关键。本文将探讨带大小约束的分类聚类问题的参数化复杂度，并介绍一种基于参数 B 的固定参数可解（FPT）算法。

2. 预备知识

在正式介绍算法之前，我们需要了解一些必要的概念和术语。
- 参数化复杂度 ：对于一个参数化问题，其输入包含一个整数参数 k。如果存在一个算法能在 $f(k)·|I|^{O(1)}$ 时间内解决该问题（其中 I 是输入，k 是参数，$f(·)$ 是可计算函数），则称该问题是固定参数可解（FPT）的。所有固定参数可解问题构成了参数化复杂度类 FPT。
- 矩阵和向量 ：本文中考虑的所有矩阵和向量都基于有限字母表 Σ。当 Σ = {0, 1} 时，称矩阵（向量）为二进制的。为简化表示，在不引起混淆的情况下，我们会省略 Σ 的表示。用 m 和 n 分别表示输入矩阵的行数和列数。
- 聚类相关概念 ：
- 对于矩阵 A 的列索引集合 {1, …, n} 的一个划分 I = {I1, …, Ik}，称 {I1, …, Ik} 为 A 的一个 k - 聚类。
- 对于包含最大的 J ⊆ {1, …, n}，使得所有 i ∈ J 的列 ai 相同，称 J 为初始簇。
- 如果聚类 I 的某个簇 Ii 是某个初始簇 J 的子集，则称 Ii 为简单簇；否则，若 Ii 包含使得 ah 和 aj 不同的 h, j ∈ {1, …, n}，则称