47、k 边缺陷时态图的探索

k 边缺陷时态图的探索

1. 引言

在图论中，对于简单、连通的无向图 $G$ 和起始顶点 $s \in V(G)$，探索图 $G$（即计算从 $s$ 开始且至少访问 $V(G)$ 中每个顶点一次的连续交叉边序列）是一个自然且被广泛研究的问题。例如，Shannon 设计了一个机械迷宫求解机器，采用深度优先搜索（DFS）类型的技术来定位迷宫中的预设目标。对于普通图的探索，从 $s$ 开始进行 DFS，直到所有顶点至少被访问一次，总共需要 $\Theta(n)$ 次边遍历。

近年来，时态图（即边集随时间变化的图）的探索问题受到了广泛关注。时态探索（Temporal Exploration，TEXP）问题要求计算一个时态行走，从指定顶点 $s \in V(G)$ 开始，在每个时间步最多进行一次边遍历，并尽可能早地访问所有顶点。在最一般的情况下，TEXP 除了假设输入时态图在每个时间步都是连通的（即始终连通）外，对输入时态图没有其他假设。这使得每个时间步中基础图的任意数量的边都可能缺失，不同时间步的图可能有很大差异，从而导致最坏情况下的探索时间界限较为悲观。因此，研究如果每个时间步中缺失的边数较少，是否可以保证更好的探索时间是很有意义的。

2. 贡献

• 引入了时态图的 $k$ 边缺陷属性，考虑在始终连通的 $k$ 边缺陷时态图上进行时态探索。
• 证明了对于任意 $k \in N$，始终连通的 $k$ 边缺陷时态图可以在 $O(kn \log n)$ 时间步内被探索。
• 表明 1 边缺陷图总是可以在 $O(n)$ 时间步内被探索，并给出了一个递归探索算法。
• 给出了一个无限家族的始终连通的