21、弦图的邻域多项式研究

弦图的邻域多项式研究

1. 引言

在图论研究中，邻域多项式是一个重要的概念。对于图 $G = (V, E)$，顶点 $v \in V$ 的邻域是与其相邻的所有顶点的集合，记为 $N_G(v) = {u \in V | uv \in E}$。图 $G$ 的邻域复形 $N_G$ 由所有有公共邻接点的顶点子集 $W \subseteq V$ 组成，即 $N_G = {U \subseteq V | \exists v \in V : U \subseteq N_G(v)}$。为了统计 $N_G$ 中基数为 $k$ 的集合的数量，我们定义邻域多项式 $N_G(x) = \sum_{U \in N_G} x^{|U|}$。

我们研究了一些图类计算邻域多项式的复杂度，重点关注弦图及其子类，如区间图、分裂图和弦可比图。为了实现这一目标，我们引入了图的锚宽，并开发了一种计算邻域多项式的算法。如果对于任何图类，锚宽在顶点数量上是多项式有界的，那么我们的算法就是高效的。主要定理如下：

定理 1：设 $G$ 是具有 $n$ 个顶点和锚宽 $k$ 的弦图。计算邻域多项式最多需要 $O(n^3k + n^2k^2)$ 时间。

2. 预备知识

• 图操作与邻域多项式

  • 并运算 ：给定两个顶点集不相交的图 $G_1 = (V_1, E_1)$ 和 $G_2 = (V_2, E_2)$，它们的并 $G_1 \cup G_2$ 的邻域多项式为 $N_{G_1 \cup G_2}(x) = N_{G_1}(x) + N_{G_2}(x) -