10、倍增空间中的模式匹配与传输图可达性问题

倍增空间中的模式匹配与传输图可达性问题

一、倍增空间中的模式匹配

1.1 递归计算 L(X, ε, rX)

在处理倍增空间中的模式匹配问题时，需要递归计算 $L(X, ε, rX)$。
- 基础情况 ：当 $k = 1$ 且 $rX = rmin$ 时，通过在每个叶节点记录简单匹配，可在 $O(n)$ 时间内完成计算。
- $k \geq 2$ 的情况 ：
1. 将 $X$ 拆分为 $P$ 和 $Q$。
2. 递归计算 $L(P, β, rP)$ 和 $L(Q, β, rQ)$，其中 $β = ε/(8k - 8)$，$rP$ 和 $rQ$ 分别是至少为 $ρ diam(P)$ 和 $ρ diam(Q)$ 的最小尺度。
3. 利用引理 9 计算 $L(P, β, rX)$ 和 $L(Q, β, rX)$，此步骤耗时 $O(nk(ρ^2/β)^{2k}δ + n log Φ(Y))$。
4. 最后根据引理 11 在 $O(nk(ρ^2/β)^{3k}δ)$ 时间内得到 $L(X, ε, rX)$。

1.2 算法运行时间分析

算法的运行时间 $T(n, k, ρ, ε)$ 满足以下关系：
$T(n, k, ρ, ε) = T(n, k1, ρ, β) + T(n, k2, ρ, β) + O(nk(ρ^2/β)^{3k}δ + n log Φ(Y))$
其中 $k1 + k2 = k$，$1 \leq k1 \leq k - 1$，$β = ε/(8k - 8)$。展开该表达式，会得到 $k - 1$