4、平面移动点的最小生成树问题研究

平面移动点的最小生成树问题研究

在许多实际场景中，我们会遇到点在平面上移动的情况，例如移动的机器人、车辆等。在这种动态环境下，如何找到最小生成树是一个具有挑战性的问题。本文将深入探讨平面移动点的最小瓶颈移动生成树（MBMST）和最小移动生成树（MMST）问题，介绍相关概念、算法及复杂度分析。

1. 基本概念

• 树的瓶颈 ：设 (b_T(t) = \sup_{pq \in T} |p(t)q(t)|) 表示树 (T) 在时间 (t) 的瓶颈。
• 最小瓶颈移动生成树（MBMST） ：对于点集 (S)，MBMST 是 (S) 的一个移动生成树，它能使所有 (t \in [0, 1]) 上的瓶颈最小，即 (MBMST \in \arg \min_{T \in T(S)} \left(\max_{t} b_T(t)\right))。

2. 距离函数的凸性

设 (p) 和 (q) 是平面上的两个移动点，它们沿直线以恒定速度移动。在时间 (t)，(p) 和 (q) 的位置可表示为：
(p(t) = (a_p + u_pt, b_p + v_pt))
(q(t) = (a_q + u_qt, b_q + v_qt))
其中 (a_p, u_p, b_p, v_p) 是与点 (p) 相关的常数。设 (d(t) = |p(t)q(t)|) 表示 (p) 和 (q) 在时间 (t) 的欧几里得距离。

引理 1 ：函数 (d) 是凸函数。
证明