32、网络分析：从图结构到图遍历-优快云博客

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网络分析：从图结构到图遍历

在各类网络结构中，图作为一种强大的数学模型，被广泛应用于众多领域，如网页超链接结构、互联网物理结构以及各种社交网络等。本文将借助 Twitter 社交网络数据，深入探讨网络分析的相关原理，并使用 Clojure 库 Loom 进行图的处理和遍历。

1. 数据下载与查看

数据下载 ：使用的 Twitter 社交网络关注者数据来自斯坦福大型网络数据集集合，可从 https://snap.stanford.edu/data/egonets-Twitter.html 下载 twitter.tar.gz 和 twitter_combined.txt.gz 文件，并解压到示例代码的数据目录中。示例代码可从 https://github.com/clojuredatascience/ch8-network-analysis 获取，可通过在项目目录中执行 script/download-data.sh 脚本完成下载。
数据查看 ：以 twitter/98801140.edges 文件为例，该文件每行由一对用空格分隔的整数组成，属于边列表格式，是存储图的两种主要方式之一。以下是使用 Clojure 读取该文件并转换为元组的代码：

(defn to-long [l]
  (Long/parseLong l))

(defn line->edge [line]
  (->> (str/split line #" ")
       (mapv to-long)))

(defn load-edges [file]
  (->> (io/resource file)
       (io/reader)
       (line-seq)
       (map line->edge)))

(defn ex-8-1 []
  (load-edges "twitter/98801140.edges"))

执行 (ex-8-1) 或在命令行运行 lein run –e 8.1 ，将得到如下序列：

;;([100873813 3829151] [35432131 3829151] [100742942 35432131]
;;  [35432131 27475761] [27475761 35432131])

2. 使用 Loom 可视化图

安装 GraphViz ：Loom 依赖系统级库 GraphViz 进行图的可视化。可通过在命令行运行 dot –V 检查是否安装，若未安装，可从 http://graphviz.org/ 下载对应系统的安装程序。
可视化示例 ：使用 loom/graph 函数将边序列转换为图，并使用 lio/view 进行可视化。示例代码如下：

(defn ex-8-2 []
  (->> (load-edges "twitter/98801140.edges")
       (apply loom/graph)
       (lio/view)))

若使用 loom/digraph 函数加载有向图，可体现边的方向，示例代码如下：

(defn ex-8-3 []
  (->> (load-edges "twitter/98801140.edges")
       (apply loom/digraph)
       (lio/view)))

有向图在表示某些关系时非常重要，如 Twitter 社交图中，一个账户关注另一个账户的行为可能是非互惠的。

3. 图的类型

有向图与无向图 ：有向图的边具有方向，而无向图的边没有方向。树是一种特殊的无环图，即不包含循环的图。有向图中若存在从一个节点回到自身的路径，则称为有向循环图。
加权图 ：边可以关联权重，用于表示两个节点之间连接的强度。例如在社交网络中，权重可以表示两个账户之间的交流频率。可使用 loom/weighted-graph 或 loom/weighted-digraph 函数加载加权图，示例代码如下：

(defn ex-8-4 []
  (->> (load-edges "twitter/98801140.edges")
       (apply loom/weighted-digraph)
       (lio/view)))

二分图 ：图的顶点和边可以有类型，当图中类型为 “A” 的节点总是与类型为 “B” 的节点相连，反之亦然（但同一类型的节点之间不相连），则称为二分图。二分图可表示为两个不相交的集合，其中一个集合中的节点仅与另一个集合中的节点相连。

4. 使用 Loom 进行图遍历

图遍历算法用于系统地探索图，常见的任务包括：
- 确定是否存在一条路径恰好遍历每条边一次
- 确定两个顶点之间的最短路径
- 确定连接所有顶点的最短树

4.1 哥尼斯堡七桥问题

哥尼斯堡七桥问题是图论的历史起源，问题是寻找一条穿过城市的路径，使得每座桥恰好通过一次。欧拉证明了该问题无解，并提出了判断图中是否存在欧拉回路的方法：图中所有节点（除起点和终点外）的连接边数必须为偶数。以下是使用 Loom 检查图中是否存在欧拉回路的代码：

(defn euler-tour? [graph]
  (let [degree (partial loom/out-degree graph)]
    (->> (loom/nodes graph)
         (filter (comp odd? degree))
         (count)
         (contains? #{0 2}))))

4.2 广度优先搜索和深度优先搜索

广度优先搜索（BFS） ：从一个特定顶点开始，依次搜索其所有邻居节点，若未找到目标顶点，则继续搜索邻居节点的邻居节点，直到找到目标顶点或遍历完整个图。Loom 中的 bf-traverse 函数可实现广度优先遍历，示例代码如下：

(defn ex-8-5 []
  (let [graph (->> (load-edges "twitter/98801140.edges")
                   (apply loom/digraph))]
    (alg/bf-traverse graph 100742942)))

深度优先搜索（DFS） ：从一个特定顶点开始，立即深入到树的底部，按照特定顺序访问节点。Loom 中的 pre-traverse 函数可实现深度优先遍历，示例代码如下：

(defn ex-8-6 []
  (let [graph (->> (load-edges "twitter/98801140.edges")
                   (apply loom/digraph))]
    (alg/pre-traverse graph 100742942)))

深度优先搜索的内存需求较低，适用于大型图。但在不同场景下，广度优先搜索或深度优先搜索可能更方便。例如，在遍历家族树寻找在世亲属时，深度优先搜索可能更快；而寻找古代祖先时，广度优先搜索可能更合适。

4.3 寻找最短路径

无向图最短路径 ：对于无加权图，通常将距离定义为 “跳数”，即相邻节点之间的步数。广度优先搜索通常是寻找最短路径的更有效算法。Loom 中的 bf-path 函数可实现广度优先最短路径搜索，示例代码如下：

(defn ex-8-8 []
  (let [graph (->> (load-edges "twitter/396721965.edges")
                   (apply loom/digraph))]
    (alg/bf-path graph 75914648 32122637)))

加权图最短路径 ：在加权图中，跳数最少的路径可能不是最短路径，因为该路径可能关联较大的权重。Dijkstra 算法可用于寻找两个节点之间的最短成本路径。示例代码如下：

(defn ex-8-9 []
  (let [graph (->> (load-edges "twitter/396721965.edges")
                   (apply loom/weighted-digraph))]
    (-> (loom/add-edges graph [28719244 163629705 100])
        (alg/dijkstra-path 75914648 32122637))))

此外，A* 算法通过引入启发式函数优化了 Dijkstra 算法，可更快地找到最短路径。在 Loom 中，可使用 alg/astar-path 函数实现。

综上所述，通过使用 Loom 库，我们可以方便地处理和遍历图，解决各种与图相关的问题。在后续的内容中，我们将继续探讨如何构建连接所有节点的最短成本树，即最小生成树。

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示广度优先搜索和深度优先搜索的基本流程：

graph LR
    A[开始] --> B{选择搜索算法}
    B -->|广度优先搜索| C[从起始节点开始]
    B -->|深度优先搜索| D[从起始节点开始]
    C --> E[搜索邻居节点]
    E --> F{找到目标节点?}
    F -->|是| G[结束]
    F -->|否| E
    D --> H[深入到树的底部]
    H --> I{找到目标节点?}
    I -->|是| G
    I -->|否| H

网络分析：从图结构到图遍历

5. 最小生成树

在加权图中，构建连接所有节点且成本最短的树，即最小生成树（MST）是一个重要的问题。最小生成树在许多场景中都有应用，例如铺设道路、搭建通信网络等，以最小的成本实现所有节点的连接。

有几种经典的算法可以用于构建最小生成树，下面我们将介绍其中的 Kruskal 算法和 Prim 算法。

5.1 Kruskal 算法

Kruskal 算法的基本思想是按照边的权重从小到大排序，然后依次选择边加入到生成树中，只要加入的边不会形成环。

以下是使用 Loom 实现 Kruskal 算法的伪代码思路：

;; 假设我们有一个加权图 graph
(defn kruskal-mst [graph]
  (let [edges (sort-by #(loom/weight graph (first %) (second %)) (loom/edges graph))
        mst (loom/graph)]
    (reduce (fn [acc edge]
              (let [u (first edge)
                    v (second edge)]
                (if (not (loom/connected? acc u v))
                  (loom/add-edges acc edge)
                  acc)))
            mst
            edges)))

在上述代码中，我们首先对图中的所有边按照权重进行排序，然后依次尝试将边加入到初始为空的生成树中。如果加入边后不会形成环（通过 loom/connected? 函数判断），则将该边加入到生成树中。

5.2 Prim 算法

Prim 算法从一个起始节点开始，每次选择与当前生成树连接的权重最小的边，并将对应的节点加入到生成树中，直到所有节点都被加入。

以下是使用 Loom 实现 Prim 算法的伪代码思路：

(defn prim-mst [graph start-node]
  (let [mst (loom/graph)
        visited #{start-node}]
    (loop [current-mst mst
           current-visited visited]
      (if (= (count current-visited) (count (loom/nodes graph)))
        current-mst
        (let [edges (filter #(and (contains? current-visited (first %))
                                  (not (contains? current-visited (second %))))
                            (loom/edges graph))
              min-edge (apply min-key #(loom/weight graph (first %) (second %)) edges)
              new-node (second min-edge)]
          (recur (loom/add-edges current-mst min-edge)
                 (conj current-visited new-node)))))))

在上述代码中，我们从起始节点开始，维护一个已访问节点的集合和当前的生成树。每次循环中，我们找出与已访问节点连接且未访问节点的边，选择权重最小的边加入到生成树中，并将对应的新节点加入到已访问节点集合中，直到所有节点都被访问。

6. 图的应用案例 - 社交网络分析

在社交网络中，图可以很好地表示用户之间的关系，例如关注、好友等。通过对社交网络图的分析，我们可以挖掘出许多有价值的信息，如用户的兴趣、社区发现等。

6.1 用户兴趣挖掘

我们可以通过分析用户的关注关系图，找出与用户相关的社区，并从社区中最有影响力的成员来推断用户的兴趣。

以下是一个简单的示例代码，用于找出某个用户所在社区的最有影响力成员：

(defn find-influential-members [graph user-id]
  ;; 假设我们有一个函数来计算节点的影响力，这里简单用度来表示
  (let [degree (partial loom/out-degree graph)
        community-nodes (loom/connected-component graph user-id)
        influential-members (sort-by #(degree %) > community-nodes)]
    influential-members))

在上述代码中，我们首先找出与目标用户所在的连通分量（即社区），然后根据节点的度（即连接的边数）对社区内的节点进行排序，找出最有影响力的成员。

6.2 社区发现

社区发现是社交网络分析中的一个重要任务，它可以帮助我们了解社交网络的结构和用户群体的划分。

一种简单的社区发现方法是使用标签传播算法（Label Propagation Algorithm）。标签传播算法的基本思想是每个节点初始都有一个唯一的标签，然后在每次迭代中，节点将自己的标签更新为其邻居节点中出现次数最多的标签，直到标签不再变化。

以下是使用 Loom 实现标签传播算法的伪代码思路：

(defn label-propagation [graph]
  (let [nodes (loom/nodes graph)
        labels (zipmap nodes (range (count nodes)))]
    (loop [current-labels labels]
      (let [new-labels (reduce (fn [acc node]
                                 (let [neighbors (loom/neighbors graph node)
                                       neighbor-labels (map #(get current-labels %) neighbors)
                                       most-common-label (first (sort-by second > (frequencies neighbor-labels)))]
                                   (assoc acc node most-common-label)))
                               {}
                               nodes)]
        (if (= new-labels current-labels)
          new-labels
          (recur new-labels))))))

在上述代码中，我们首先为每个节点分配一个唯一的标签，然后在每次循环中，更新每个节点的标签为其邻居节点中出现次数最多的标签，直到标签不再变化。

7. 总结

通过本文的介绍，我们从图的基本概念出发，包括图的类型（有向图、无向图、加权图、二分图等），到图的遍历算法（广度优先搜索、深度优先搜索、寻找最短路径等），再到图的应用（最小生成树、社交网络分析等），全面了解了图在网络分析中的重要作用。

下面是一个 mermaid 流程图，展示图分析的整体流程：

graph LR
    A[数据下载] --> B[数据查看]
    B --> C[图可视化]
    C --> D{选择图类型}
    D -->|有向图| E[有向图分析]
    D -->|无向图| F[无向图分析]
    D -->|加权图| G[加权图分析]
    D -->|二分图| H[二分图分析]
    E --> I[图遍历算法]
    F --> I
    G --> I
    H --> I
    I --> J[应用场景]
    J -->|最小生成树| K[Kruskal 算法、Prim 算法]
    J -->|社交网络分析| L[用户兴趣挖掘、社区发现]

通过掌握这些图相关的知识和算法，我们可以更好地处理和分析各种网络数据，挖掘出有价值的信息。