HDU 3037 Saving Beans

2016暑期集训2-K

HDU 3037 Saving Beans

组合数性质，Lucas定理

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题意

给了n，m，p。把不超过m个相同的松子放入n个不同的树洞，有多少种方法，模p。

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思路

题目相当于求n个数的和不超过m的方案数，即把小于等于m个物品分成n堆。
如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+…+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：(m+1)*(m+2)…(m+n-1) = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)
现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1…,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得
C(n-1,0)+C(n,1)+…+C(n+m-1,m)
= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+…+C(n+m-1,m)
= C(n+m,m)
现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。
然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值。

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代码

注意组合数取模里面，先把分母都取模乘起来，最后求逆，否则超时

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<iomanip>

using namespace std;
const int MAXN = 100007;
typedef long long ll;
ll extend_gcd ( ll a , ll b , ll &x , ll &y )
{
    if ( b == 0 )
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll r = extend_gcd ( b , a%b , y , x );
        y -= x*( a / b );
        return r;
    }
}
ll mod_inverse ( ll a , ll m )
{
    ll x , y;
    ll d = extend_gcd ( a , m , x , y );
    if ( d == 1 )
    {
        return ( x%m + m ) % m;
    }
    return -1;
}
ll CMOD ( ll a , ll b ,ll c)
{
    //b = min ( b , a - b );
    ll res = 1;
    ll ans = 1;
    for ( ll i = 1; i <= b; i++ )
    {
        res = res*( a - i + 1 ) % c;
        ans = ans*i%c;
    }
    return res*mod_inverse ( ans , c ) % c;
}
ll Lucas ( ll a , ll b,ll c )
{
    if ( b == 0 ) return 1;
    return CMOD ( a%c , b%c,c ) * Lucas ( a / c , b / c , c ) % c;
}

int main ( )
{
    ll n;
    scanf ( "%I64d" , &n );
    while ( n-- )
    {
        ll a , b , c;
        scanf ( "%I64d%I64d%I64d" , &a , &b , &c );
        ll res = Lucas ( a+b , b , c );
        cout << res << endl;
    }
    system ( "pause" );
    return 0;
}