【codeforces 442 B】 Andrew and problem（贪心）

题意

你有 $n$ 个朋友，每个朋友有 $p_i$ 的概率切出一道题。

现在需要选一个朋友集合，最大化集合内朋友恰好只切出一道题的概率。

思路

胡结论好题。

结论是按 $p_i$ 从大到小排序，取的肯定是一个前缀。

现在来证明结论：

首先假如我有一个集合 $S$ ，恰好切出一道题的概率是

$$W_S=\prod _{i\in S}(1-p_i)\sum _{i\in S}\frac{p_i}{1-p_i}$$

设 $A_S={\prod }_{i\in S}(1-p_i),B_S={\sum }_{i\in S}\frac{p_i}{1-p_i}$ ，则 $W_S=A_S\ast B_S$

然后我想知道假如我要向 $S$ 中加入一个人，加怎么样的人会使 $S$ 变优，假设加的人是 $p_i$

W S ∪ { i } = A S ∗ ( 1 − p i ) ∗ ( B S + p i 1 − p i ) = W S + ( 1 − B S ) ∗ p i ∗ A S W_{S\cup \{i\}}=A_S*(1-p_i)*(B_S+\frac{p_i}{1-p_i})=W_S+(1-B_S)*p_i*A_S WS∪{i}​=AS​∗(1−pi​)∗(BS​+1−pi​pi​​)=WS​+(1−BS​)∗pi​∗AS​

发现 $S$ 是否更优与 $p_i$ 无关，而与 $B_S$ 有关，只有在 $B_S<1$ 时加人会变得更优。而且加 $p_i$ 更大的人会比 $p_i$ 小的要优。

然后随便证一下得到前缀最优。可以这样想，假如存在 $p_i\in S,p_j\notin S,p_j<p_i$ ，那么把 $j$ 换成 $i$ 显然更优。然后这么换着换着就换成前缀了。

然后做法就是取前缀直到 $B_S\ge 1$ 。

代码

代码思路不是很清晰，因为开始胡错了，改了改才过。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double ans, now, zero;
vector<double> p;

bool cmp(double x, double y){
	return x > y;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	ans = now = 0; zero = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i){
		double x;
		scanf("%lf", &x);
		if (x >= 0.5) ans = max(ans, x);
		else p.push_back(x);
	}
	sort(p.begin(), p.end(), cmp);
	for (int i = 0, qw = p.size(); i < qw; ++ i){
		now = now*(1-p[i])+zero*p[i];
		zero *= 1-p[i];
		ans = max(ans, now);
	}
	printf("%.15f\n", ans);
	return 0;
}