LeetCode 780. 到达终点（数学推理/反向计算）

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题目描述

• 780. 到达终点

解法：反向计算

题目中给定$(sx,sy)$的范围是$[1,10^9]$，且每次转换，只能将另一维的数值累加到当前维，因此在转换过程中绝不会出现负数。

如果从$(sx,sy)$开始正向计算，则可能的情况非常多，会超出时间限制。

$(sx,sy)$和$(tx,ty)$的范围都是$[1,10^9]$（正整数），因此对于给定的状态$(tx,ty)$，只有当 $\text{tx}\ne \text{ty}$ 时才存在上一个状态，且上一个状态唯一，可能的情况如下：

• 如果 $tx=ty$，不存在上一个状态，状态 $(tx,ty)$ 即为起点状态

• 如果 $tx>ty$，则上一个状态是 $(tx-ty,ty)$

• 如果 $tx<ty$，则上一个状态是 $(tx,ty-tx)$

因此可以从 $(tx,ty)$ 开始反向计算，判断是否可以到达状态 $(sx,sy)$。

由于每一步反向操作一定是将 $tx$ 和 $ty$ 中的较大的值减小，因此当 $tx>ty$ 时可以直接将 $tx$ 的值更新为 $\text{tx}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\text{ty}$，当 $tx<ty$ 时可以直接将 $ty$ 的值更新为 $\text{ty}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\text{tx}$。

更相减损法到辗转相除法的进化。如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为$O(N)$，其中$N$是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于$O(logN)$。

当反向操作的条件不成立时，根据 $tx$ 和 $ty$ 的不同情况分别判断是否可以从起点转换到终点。

• 如果 $tx=sx$ 且 $ty=sy$，则已经到达起点状态，因此可以从起点转换到终点。

• 如果 $tx=sx$ 且 $\text{ty}\ne \text{sy}$，则 $tx$ 不能继续减小，只能减小 $ty$，因此只有当 $ty>sy$ 且 $(\text{ty}-\text{sy})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\text{tx}=0$ 时可以从起点转换到终点。

• 如果 $ty=sy$ 且 $\text{tx}\ne \text{sx}$，则 $ty$ 不能继续减小，只能减小 $tx$，因此只有当 $tx>sx$ 且 $(\text{tx}-\text{sx})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\text{ty}=0$ 时可以从起点转换到终点。

• 如果 $\text{tx}\ne \text{sx}$ 且 $\text{ty}\ne \text{sy}$，则不可以从起点转换到终点。

class Solution {
    public boolean reachingPoints(int sx, int sy, int tx, int ty) {
        while (tx > sx && ty > sy && tx != ty) {
            if (tx > ty) {
                tx %= ty;
            } else {
                ty %= tx;
            }
        }
        if (tx == sx && ty == sy) {
            return true;
        } else if (tx == sx) {
            return ty > sy && (ty - sy) % tx == 0;
        } else if (ty == sy) {
            return tx > sx && (tx - sx) % ty == 0;
        } else {
            return false;
        }
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log \max (\text{tx},\text{ty}))$。反向计算的过程与辗转相除法相似，时间复杂度是 $O(\log \max (\text{tx},\text{ty}))$

• 空间复杂度：$O(1)$

Reference

• 到达终点