第八讲：期望最大化算法(EM algorithm)

在前面的若干讲义中，我们已经讲过了期望最大化算法（EM algorithm），使用场景是对一个高斯混合模型进行拟合（fitting a mixture of Gaussians）。在本章里面，我们要给出期望最大化算法（EM algorithm）的更广泛应用，并且演示如何应用于一个大系列的具有潜在变量（latent variables）的估计问题（estimation problems）。我们的讨论从 Jensen 不等式（Jensen’s inequality）开始，这是一个非常有用的结论。

1. Jensen 不等式（Jensen’s inequality）

设 $f$ 为一个函数，其定义域（domain）为整个实数域（set of real numbers）。这里要回忆一下，如果函数 $f$ 的二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ (其中的 $x\in R$)，则函数 $f$ 为一个凸函数（convex function）。如果输入的为向量变量，那么这个函数就泛化了，这时候该函数的海森矩阵（hessian） $H$ 就是一个半正定矩阵（positive semi-definite H ≥ 0）。如果对于所有的 $x$，都有二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)>0$，那么我们称这个函数 $f$ 是严格凸函数（对应向量值作为变量的情况，对应的条件就是海森矩阵必须为正定，写作 H > 0）。这样就可以用如下方式来表述 Jensen 不等式：

定理（Theorem）：设 $f$ 是一个凸函数，且设 $X$ 是一个随机变量（random variable）。然后则有：

$$\begin{array}{r}E[f(X)]\ge f(EX)\end{array}$$

（译者注：函数的期望等于期望的函数值）

此外，如果函数 $f$ 是严格凸函数，那么 $E[f(X)]=f(EX)$, 当且仅当 $X=E[X]$ 的概率（probability）为 1的时候成立（例如 $X$ 是一个常数。）

还记得我们之前的约定（convention）吧，写期望（expectations）的时候可以偶尔去掉括号（parentheses），所以在上面的定理中，$f(EX)=f(E[X])$。
为了容易理解这个定理，可以参考下面的图：

上图中，$f$ 是一个凸函数，在图中用实线表示。另外 $X$ 是一个随机变量，有 0.5 的概率（chance）取值为 a，另外有 0.5 的概率取值为 b（在图中 x 轴上标出了）。这样， $X$ 的期望值就在图中所示的 a 和 b 的中点位置。

图中在 $y$ 轴上也标出了 $f(a)$, $f(b)$ 和 $f(E[X])$。接下来函数的期望值 $E[f(X)]$ 在 $y$ 轴上就处于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的中点的位置。如图中所示，在这个例子中由于 $f$ 是凸函数，很明显 $E[f(X)]\ge f(EX)$。

顺便说一下，很多人都记不住不等式的方向，所以就不妨用画图来记住，这是很好的方法，还可以通过图像很快来找到答案。

回想一下，当且仅当 $–f$ 是严格凸函数（[strictly] convex）的时候，$f$ 是严格凹函数（[strictly] concave）（例如，二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ 或者其海森矩阵 $H\le 0$）。Jensen 不等式也适用于凹函数（concave）f，但不等式的方向要反过来，也就是对于凹函数，$E[f(X)]\le f(EX)$。

2. 期望最大化算法（EM algorithm）

假如我们有一个估计问题（estimation problem），其中由训练样本集 { x ( 1 ) , . . . , x ( m ) } \{x^{(1)}, ..., x^{(m)}\} { x(1),...,x(m)} 包含了 m 个独立样本。我们用模型 $p(x,z)$ 对数据进行建模，拟合其参数（parameters），其中的似然函数（likelihood）如下所示：

$$\begin{array}{rl}\ell (\theta )& =\sum _{i=1}^m\log p(x;\theta )\\ & =\sum _{i=1}^m\log \sum _{z^{(i)}=1}^{k}p(x,z;\theta ).\end{array}$$

然而，确切地找到对参数 $\theta$ 的最大似然估计（maximum likelihood estimates）可能会很难。此处的 $z^{(i)}$ 是一个潜在的随机变量（latent random variables）；通常情况下，如果$z^{(i)}$ 事先得到了，然后再进行最大似然估计，就容易多了。

这种环境下，使用期望最大化算法（EM algorithm）就能很有效地实现最大似然估计（maximum likelihood estimation）。明确地对似然函数$\ell (\theta )$进行最大化可能是很困难的，所以我们的策略就是使用一种替代，在 $E-step$ 中构建一个$\ell$ 的下限（lower-bound），然后在 $M-step$ 中对这个下限进行优化。

对于每个 $i$，设 $Q_i$ 是某个对 $z$ 的分布，${\Sigma }_z{Q}_i(z)=1,Q_i(z)\ge 0$。则有下列各式¹：

$$\begin{array}{rlr}\sum _i\log p(x^{(i)};\theta )& =\sum _i\log \sum _{z^{(i)}}p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )& \\ & =\sum _i\log \sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}& \\ & \ge \sum _i\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}& \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

上面推导（derivation）的最后一步使用了 Jensen 不等式（Jensen’s inequality）。其中的 $f(x)=\log x$ 是一个凹函数（concave function），因为其二阶导数$f^{\prime \prime }(x)=-1/x^2<0$ 在整个定义域（domain） $x\in R^{+}$ 上都成立。

此外，上式的求和中的单项：

$$\begin{array}{r}\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\left[\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}\right]\end{array}$$

是变量（quantity）$[p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )/Q_{}$