python数据结构-树

树的基本概念

树是一种数据结构，它模拟了一种层次结构，其中每个元素称为节点。树的一个节点可以有零个或多个子节点，但每个节点只有一个父节点，除了根节点，它没有父节点。树的一个重要特性是它没有循环，即从一个节点出发，不能回到该节点。

树的基本组成部分包括：

• 根节点：树的起始节点，没有父节点。
• 分支：连接到根节点的子树。
• 叶子节点：没有子节点的节点。
• 节点：树中的任何元素。

树的数据抽象

在Python中，我们可以通过列表来表示树。树的数据抽象包括构造器和选择器：

def tree(root_label, branches=[]):
    for branch in branches:
        assert is_tree(branch), 'branches must be trees'
    return [root_label] + list(branches)

def label(tree):
    return tree[0]

def branches(tree):
    return tree[1:]

def is_tree(tree):
    if type(tree) != list or len(tree) < 1:
        return False
    for branch in branches(tree):
        if not is_tree(branch):
            return False
    return True

def is_leaf(tree):
    return not branches(tree)

树的构造和操作示例

我们可以通过嵌套表达式来构造树。例如，下面的树t有一个根标签3和两个分支：

t = tree(3, [tree(1), tree(2, [tree(1), tree(1)])])
print(t)  # [3, [1], [2, [1], [1]]]
print(label(t))  # 3
print(branches(t))  # [[1], [2, [1], [1]]]
print(label(branches(t)[1]))  # 2
print(is_leaf(t))  # False
print(is_leaf(branches(t)[0]))  # True

树递归函数

树递归函数可以用来构造和处理树。例如，Fibonacci树递归地构造了一个Fibonacci数列的树结构：

def fib_tree(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return tree(n)
    else:
        left, right = fib_tree(n-2), fib_tree(n-1)
        fib_n = label(left) + label(right)
        return tree(fib_n, [left, right])

print(fib_tree(5))  # [5, [2, [1], [1, [0], [1]]], [3, [1, [0], [1]], [2, [1], [1, [0], [1]]]]]

树的叶子计数

我们可以使用递归函数来计算树的叶子节点数量：

def count_leaves(tree):
    if is_leaf(tree):
        return 1
    else:
        branch_counts = [count_leaves(b) for b in branches(tree)]
        return sum(branch_counts)

print(count_leaves(fib_tree(5)))  # 8

分区树

分区树表示一个整数的分区。分区树的构造和打印如下：

def partition_tree(n, m):
    if n == 0:
        return tree(True)
    elif n < 0 or m == 0:
        return tree(False)
    else:
        left = partition_tree(n-m, m)
        right = partition_tree(n, m-1)
        return tree(m, [left, right])

def print_parts(tree, partition=[]):
    if is_leaf(tree):
        if label(tree):
            print(' + '.join(partition))
    else:
        left, right = branches(tree)
        m = str(label(tree))
        print_parts(left, partition + [m])
        print_parts(right, partition)

print_parts(partition_tree(6, 4))

二叉化树

二叉化树是将一个树转换为右分支的二叉树：

def right_binarize(tree):
    if is_leaf(tree):
        return tree
    if len(tree) > 2:
        tree = [tree[0], tree[1:]]
    return [right_binarize(b) for b in tree]

print(right_binarize([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]))  # [1, [2, [3, [4, [5, [6, 7]]]]]]

课后练习

1. 构造一个树：构造一个树，根节点为5，有两个分支，第一个分支是叶子节点3，第二个分支是根节点为4的树，该树有两个叶子节点2和1。
2. 计算叶子节点数量：编写一个函数count_nodes，计算树中所有节点的数量。
3. 打印树结构：编写一个函数print_tree，以缩进格式打印树的结构。
4. 树的深度：编写一个函数tree_depth，计算树的最大深度。

课后练习答案

1. 构造一个树：

t = tree(5, [tree(3), tree(4, [tree(2), tree(1)])])
print(t)  # [5, [3], [4, [2], [1]]]

2. 计算叶子节点数量：

def count_nodes(tree):
    if is_leaf(tree):
        return 1
    else:
        return 1 + sum(count_nodes(b) for b in branches(tree))

print(count_nodes(t))  # 5

3. 打印树结构：

def print_tree(tree, indent=0):
    print(' ' * indent + str(label(tree)))
    for branch in branches(tree):
        print_tree(branch, indent + 2)

print_tree(t)

4. 树的深度：

def tree_depth(tree):
    if is_leaf(tree):
        return 1
    else:
        return 1 + max(tree_depth(b) for b in branches(tree))

print(tree_depth(t))  # 3