【LeetCode热题100道笔记+动画】分割等和子集

题目描述

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

思考

0-1背包问题的变形应用：将问题转化为"能否从数组中选取部分元素，使其和等于数组总和的一半"。通过动态规划求解，利用滚动数组优化空间复杂度。

算法过程

1. 计算数组总和，若为奇数直接返回false（无法分割为两个等和子集）
2. 定义目标容量volume = sum / 2，问题转化为"能否装满容量为volume的背包"
3. 初始化dp数组：dp[j]表示能否组成和为j的子集，dp[0] = true（空子集）
4. 遍历每个元素v：
   • 从大到小遍历容量j（避免重复使用同一元素）
   • 状态转移：dp[j] = dp[j] || dp[j - v]（不选v或选v）
5. 最终返回dp[volume]（能否组成目标和）

时间复杂度

• 时间复杂度：O(n×volume)，n为数组长度，volume为总和的一半
• 空间复杂度：O(volume)，使用滚动数组优化，仅需一维数组存储状态

该方法通过动态规划高效解决子集分割问题，将0-1背包思想巧妙应用于子集和判断场景。

代码

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var canPartition = function(nums) {
    const sum = nums.reduce((a, b) => a + b, 0);
    if (sum % 2 !== 0) return false; // 和为奇数时无法分割
    
    const volume = sum / 2;
    // dp[j]表示能否组成和为j的子集
    const dp = Array(volume + 1).fill(false); // 数组长度应为volume + 1
    dp[0] = true; // 基础情况：和为0可以通过空子集实现
    
    for (let v of nums) {
        // 从大到小遍历，避免重复使用同一个元素
        for (let j = volume; j >= v; j--) {
            // 状态转移：如果j-v可以组成，那么j也可以组成
            dp[j] = dp[j] || dp[j - v];
        }
    }
    
    return dp[volume];
};
    

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