绍兴一中模拟赛10.27——球

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本文探讨了一种特殊的背包问题，其中物品的选取受到后续物品移除的限制。通过将物品的重量视为a[i]，价值视为b[i]，利用动态规划求解最大价值。文章详细解释了如何避免物品间的影响，并提供了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

众所周知AKKing_FB有 $n (n < = 5000)$ 个球，第i个球有两个属性 $a [i], b [i]$ 。 $AKKing_FB$ 想从中取出一些球，使得这些球的 $b [i]$ 之和最大。
但是这题有些奇怪的条件：
$1 .$ 当 $AKKing_FB$ 取走第i颗球时，从第 $i$ 颗球到 $i + a [i] - 1$ 的球都会被丢掉（需要满足 $i + a [i] - 1 < = n$ )。然后剩余的球会重新并在一起。
$2. AKKing_FB$ 可以主动把当前位于第一位的球放到末尾。之后的球顺次往前。如右边所示 $1, 2, 3, 4 \dots . n - 1, n - - > 2, 3, 4, \dots n - 1, n, 1$ 。
$AKKing_FB$ 想知道他可以得到的 $b [i]$ 之和的最大值。

Solution

把 $a [i]$ 看作重量， $b [i]$ 看作价值，以 $n$ 为容量做一遍背包即可
很多人会疑惑：取了一个数之后不是会把后面的几个数也丢掉吗？但事实上，可以先把不会影响别的数的数取掉，再取这个数
感性理解就是鸽巢原理
下面理性分析一下：
设选出的位置为 $pos_{1...n}$
如果每个数都会影响别的数，那么
$pos_2-pos_1+1>a_1$
$pos_3-pos_2+1>a_2$
…
$pos_n-pos_{n-1}+1>a_{n-1}$
$pos_1-pos_n+1>a_n$
左右两边分别相加，得： $Σa>n\Sigma a>n$
但是因为背包容量为 $n$ ，所以背包计算出的方案不可能有这种情况

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5002;
int n,i,j,f[N],x,y;
inline char gc(){
	static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int rd(){
	int x=0,fl=1;char ch=gc();
	for (;ch<48||ch>57;ch=gc())if(ch=='-')fl=-1;
	for (;48<=ch&&ch<=57;ch=gc())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return x*fl;
}
int main(){
	n=rd();
	for (i=1;i<=n;i++){
		x=rd();y=rd();
		for (j=n;j>=x;j--) f[j]=max(f[j],f[j-x]+y);
	}
	printf("%d",f[n]);
}