【数据结构】树状数组 -笔记

树状数组

树状数组的基本用途是：维护序列的前缀和。
基本思想是：对于给定的序列a，建立一个数组c，其中c[x]保存序列a在区间[x-lowbit(x)+1, x]中所有数的和。

int lowbit(int x)//返回lowbit的位数
{
	return x & (-x);
}

可以想象一个树形结构（如果N不是2的整数次幂，则为森林结构）。

1. 每个内部节点c[x]保存以它为根节点的子树中所有叶子节点的和。
2. 每个内部节点c[x]的子节点的个数等于lowbit(x)的位数。
3. 除了根节点外，每个内部节点c[x]的父节点是c[x+lowbit(x)]。
4. 树的深度是O(logN)。

这个树结构支持两种操作：

1. 查询前缀和：O(logN)
   求出[1, x]的值。如果需要[l, r]的值，可以使用ask(r )-ask(l -1 )查询。

int ask(int x)
{
	int ans = 0;
	for (; x; x -= lowbit(x))
		ans += c[x];
	return ans;
}

3. 单点增加值：O(logN)
   给a[x]加上数值y。
   可以用add操作来进行初始化——新建全0的数组c，给每个位置x执行操作add(x, a[x])。这样初始化得时间复杂度为O(NlogN)。

void add(int x, int y)
{
	for (; x <= N; x += lowbit(x))
		c[x] += y;
}