广义逆矩阵

当且仅当一个矩阵为非奇异矩阵时才有逆矩阵，逆矩阵可以推广到非方阵的形式，即广义逆矩阵。

对于矩阵 $A_{m*n}$,若有矩阵 $X_{n*m}$ ，使得

$$AXA=A$$
则称， $X$为 $A$的广义逆矩阵，记做$X=A^-$

对于矩阵 $A_{m*n}$,若有矩阵 $X_{n*m}$ ，使得

$$\begin{matrix} AXA=A \\ XAX=A \\ (AX)^T=AX \\ (XA)^T=XA \end{matrix}$$
则称， $X$为 $A$的$PM$广义逆或伪逆，记做$X=A^+$

矩阵 $A_{m*n}$的$PM$广义逆是存在且唯一的，

$$A+=A^T (A^T A A^T)^-A^T$$

$PM$广义逆是广义逆的一种特殊形式。

$A_{m*n}，m<n,AA_r=I_m$, $A_r$为右逆，
一个特殊的右逆：$A_r^+=A^T (AA^T)^{-1}$，
若 $W_{nn}$是正定矩阵，加权右广义逆为：$A_r^+=W^{-1} A^T (AW^{-1}A^T)^{-1}$

$A_{m*n}，m>n,AA_r=I_n$, $A_r$为左逆,
一个特殊的左逆：$A_r^+= (AA^T)^{-1}A^T$,
若 $W_{mm}$是正定矩阵，加权右广义逆为：$A_r^+= (AWA^T)^{-1}A^TW$