机器人（机械臂）动力学建模方法（Euler-Lagrange equation）

动力学介绍

机器人动力学明确描述机器人力和运动之间的关系。在机器人设计、机器人运动仿真和动画以及控制算法设计中，都需要考虑动力学方程，他是对机器人系统力和运动关系的完整表述。

动力学方程一般有两种形式：
1. 欧拉-拉格朗日运动方程
2. 牛顿-欧拉方程
3.

动力学模型

欧拉-拉格朗日运动方程：

$$L=K+P$$
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} - \frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}=\tau_i,i=1, \cdots ,n$$

写成以下紧凑的形式为：

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} )^T - （\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}）^T=\tau$$

• n连杆机器人的动能：

$$K=\frac{1}{2}\dot{q}^T[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i (q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ] \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T D(q) \dot{q}$$

其中：

$$D(q)=[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i(q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ]$$

被称为惯性矩阵，是一个与形位相关的 $n*n$ 对称、正定矩阵。

$$J_{v}^i= [ J_{v_1}^i \cdots J_{v_i}^i \ 0 \cdots 0]$$
$$J_{\omega}^i= [ J_{\omega_1}^i \cdots J_{\omega_i}^i \ 0 \cdots 0]$$

对旋转关节：$J_{v_j}^i= z_{j}*(p_{l_i}-p_j)$，$J_{\omega_j}^i=z_j$
对移动关节：$J_{v_j}^i= z_{j}$，$J_{\omega_j}^i=0$
$m_i$为连杆的质量，$J_{v}^i 和 J_{\omega}^i$是各关节连杆坐标系相对基坐标系对应的雅克比矩阵，$R_i$为各连杆坐标系相对基坐标系的旋转矩阵。

• n连杆机器人的势能：

$$P=\sum^m_{i=1} m_i g_0^T p_{i}$$
其中，$P_i$是第$i$连杆的质心，$g_0$为重力加速度向量

• 欧拉-拉格朗日运动方程可以写成：

$$\sum^n_{j=1} d_{ij}(q) \ddot q_j + \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} c_{ijk}(q)\dot{q_i}\dot{q_j} + g_i(q)=\tau_i$$
其中：$c_{ijk}=\frac {1}{2}( \frac{\partial b_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial b_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial b_{jk}}{\partial q_i} )$, 对确定的$k$, $c_{ijk}=c_{jik}$,此处的$c_{ijk}$被称作（第一类）Christoffel 符号。

考虑机器人末端的受力$h_e$, 表示由粘滞摩擦系数构成的矩阵$F_v$, 和 表示静摩擦力的矩阵$F_s$,用矩阵形式表示为：

$$D(q) \ddot q +C(q,\dot q) \dot q+F_v\dot q+F_s sgn (\dot q)+g(q)=\tau-J^T(q)h_e$$
其中：
$$\sum^n_{j=1}c_{ij} q_{(j)}= \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} c_{ijk} \dot q_{(k)} \dot q_{(j)}$$