2、有限状态机的理论与应用

有限状态机的理论与应用

1. 二进制乘法与有限状态机的局限性

在处理二进制数时，我们可以发现有限状态机在某些情况下存在局限性。例如，对于二进制数 (2^m)，它由一个 1 后面跟着 (m) 个 0 表示（如 (2^3 = 1000)）。在 (t_1) 到 (t_{m + 1}) 时间内，机器接收输入，并且在此期间机器一直输出 0。到 (t_{m + 2}) 时，输入停止，机器从 (t_{m + 2}) 到 (t_{2m}) 输出先 0 后 1。

在 (t_{m + 1}) 到 (t_{2m}) 时间段，没有输入给机器，但机器仍有输出。由于 (m > n)，根据有限状态机的定义，输出必须是周期性的，且周期必须小于 (m)。然而，我们并没有得到任何重复的输出序列，所以使用有限状态机无法设计两个任意大的二进制数的乘法。

下面是一个示例表格，展示了时间、输入和输出的关系：
| 时间 | (t_{2m + 1}) | (t_{2m}) | … | (t_{m + 1}) | (t_{m}) | … | (t_{2}) | (t_{1}) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一个数 | 1 | 0 | … | 0 | 0 | … | 0 | 0 |
| 第二个数 | 1 | 0 | … | 0 | 0 | … | 0 | 0 |
| 结果 | 1 | 0 | … | 0 | 0 | … | 0 | 0 |

2. 状态等价与可区分性

2.1 定义