29、几何采样中的悖论与概率统计基础

几何采样中的悖论与概率统计基础

1. 几何采样中的悖论现象

1.1 测试系统与Rao - Blackwell定理

在几何采样中，我们会遇到一些与直觉相悖的现象。考虑一个固定面积 (A>0) 的区域 (Y⊂R^2)，有两个测试系统，(\Lambda_t) 是长度为 (t>0) 的线段测试系统，(\Lambda_0) 是测试点系统，它们的基本单元都是边长为 (T>t>0) 的正方形。

当 (\Lambda_t) 均匀随机（UR）地与 (Y) 相交时，面积 (A) 的无偏估计量为：
[
\hat{A} = \frac{T^2}{t} \cdot l
]
其中 (l = L(Y \cap \Lambda_t)) 是 (\Lambda_t) 在 (Y) 中确定的总截距长度。

若 (\Lambda_0) 在 (\Lambda_t) 内均匀随机分布，且基本单元方向相同，那么 (l) 的无偏估计量为：
[
\hat{l} = t \cdot P
]
其中 (P = P(Y \cap \Lambda_t \cap \Lambda_0))。此时，面积 (A) 的另一个无偏估计量为：
[
\tilde{A} = \frac{T^2}{t} \cdot \hat{l} = T^2P
]

根据Rao - Blackwell定理，有：
[
Var(\tilde{A}) = Var{E(\tilde{A}|\hat{A})} + E{Var(\tilde{A}|\hat{A})} = Var(\hat{A}) +