9、几何抽样基础概念解读

几何抽样基础概念解读

1. 加权抽样

加权抽样的概念源于之前的研究结果。设 $P(dx)$ 是随机变量 $X$ 的概率元素，若 $X$ 在事件 $E$ 发生的条件下被观测，根据贝叶斯定理可得：
$P(dx|E) \propto P(E|x) \cdot P(dx)$
当 $P(E|x) = w(x)$（$x$ 的已知函数）时，条件随机变量 $X|E$ 的概率元素为：
$P(dx|E) = \frac{w(x) \cdot P(dx)}{\int w(x) \cdot P(dx)} = \frac{w(x) \cdot P(dx)}{E{w(x)}}$
此时，$X|E$ 的分布被称为 $w$ - 加权分布。

1.1 长度加权截距示例

考虑集合 $Y \subset D = [0, H)^2$，在 $Y$ 的正交投影 $Y’$ 中生成一个均匀随机（UR）横坐标 $x_1$，其概率元素为：
$P(dx_1) = \frac{dx_1}{L(Y’)}, x_1 \in Y’$
已知 $A = \int_{Y’} l(x_1) dx_1 = L(Y’) \cdot E{l(x_1)}$，则在命中事件发生的条件下，$x_1$ 的分布是长度加权的，其概率元素为：
$P(dx_1| \uparrow) = \frac{l(x_1) \cdot P(dx_1)}{E{l(x_1)}}, x_1 \in Y’$
设 $P(dl)$ 是未加权垂直截距长度 $l \equiv l(x_1)$ 的概率元素，由于每个 $x_1$ 值决定一个 $l$ 值，所以 $P(dx_1) = P(dl)$，进而可得：
$P(d