57、凸规划与分支限界算法的优化与应用

凸规划与分支限界算法的优化与应用

1. 凸规划的原始 - 对偶算法

在凸规划和KKT条件的一般设置下，提出了一种原始 - 对偶算法，并且证明了该算法能够收敛到最优解。为了探索该算法的复杂度，进行了模拟实验，观察实例规模增大时算法的行为。

实验结果显示，当 $n = m$ 时，原始 - 对偶算法的表现存在问题。而在其他情况下，尤其是 $n > m$（更接近实际应用）时，算法的复杂度似乎与实例规模呈线性关系。目前一个有趣的开放性问题是，该算法是否具有多项式时间复杂度。若不具备，基于原始 - 对偶范式设计一个多项式时间运行的算法将是一个具有挑战性的方向。

以下是相关参数下的实验情况：
- 参数设置 ：$\alpha = 2$，$w_{max} = 10$，$p = 1$。
- 图1 ：
- 图1(a) ：当 $n > m$ 时，原始 - 对偶算法对对偶变量的修改次数。
- 图1(b) ：当 $n > m$（$m = 10$）时，原始 - 对偶算法和SeDuMi求解器（用于凸规划）的执行时间比较。
- 图2 ：纵轴表示原始 - 对偶算法对对偶变量修改的对数。

2. 分支限界算法的再优化

许多求解困难优化问题的强大方法，如拉格朗日松弛和列生成，都基于将问题分解为主问题和一个或多个子问题。子问题会被反复求解以更新主问题，最终主问题将被求解到最优。通常，连续轮次中求解的子问题非常相似，一般只有成本