47、图自同构群计算的新颖技术

图自同构群计算的新颖技术

1. 基本定义和符号

为了便于表述，这里主要考虑无向图，不过所得结果几乎可直接扩展到有向图。
- 图的定义 ：图 $G$ 是一个二元组 $(V, E)$，其中 $V$ 是有限集，$E$ 是 $V$ 上的二元关系。$V$ 中的元素是图的顶点，$E$ 中的元素是图的边。顶点集为 $V$ 的图的集合记为 $G(V)$。
- 子图 ：设 $W \subseteq V$，$G$ 中由 $W$ 诱导的子图记为 $G_W$。
- 顶点的邻居数 ：设 $W \subseteq V$ 且 $v \in V$，$\delta(G, W, v)$ 表示顶点 $v$ 属于 $W$ 的邻居的数量，即 $\delta(G, W, v) = |{(v, w) \in E : w \in W}|$。当 $W = V$ 时，它表示顶点的度。
- 图同构 ：两个图 $G = (V_G, E_G)$ 和 $H = (V_H, E_H)$ 同构，当且仅当存在双射 $\gamma : V_G \to V_H$，使得 $(v, w) \in E_G \Leftrightarrow (\gamma(v), \gamma(w)) \in E_H$，这个双射 $\gamma$ 是 $G$ 到 $H$ 的同构。图 $G$ 的自同构是 $G$ 到自身的同构，自同构群 $Aut(G)$ 是 $G$ 关于复合运算的所有自同构的集合。
- 有序划分 ：$V$ 的有序划分 $\pi = (W_1, …, W_m)$ 是