28、本地思考，全局行动：高度平衡的图划分

本地思考，全局行动：高度平衡的图划分

1. 引言

在计算机科学、工程及相关领域，图划分是一种常见技术。例如在并行计算中，非结构化图的良好划分非常有价值，其主要用于划分计算和通信的底层图模型。通常，图中的节点代表计算单元，边表示通信。该图需要被划分为若干块，使得块之间的边尽可能少。特别是当使用 k 个处理器时，希望将图划分为 k 个大小大致相等的块，本文聚焦于块大小限制非常严格的情况，包括完美平衡（最大块大小等于平均块大小）的情况。

此问题是 NP 难问题，在一般图上难以近似，因此实践中大多使用启发式算法。多级别方法是划分大型图的一种成功启发式算法，它通过递归收缩图以得到具有相同基本结构的较小图，对层次结构中最小的图应用初始划分算法后，再撤销收缩操作，并在每一级使用局部细化方法改进由较粗级别诱导的划分。

之前开发的 KaFFPa 和 KaFFPaE 算法在允许一定不平衡度（ϵ > 0）时，能在合理时间内计算出高质量的划分，但对于较小的 ϵ 值，特别是完美平衡情况（ϵ = 0）效果不佳。现有的局部搜索算法在交换分区块之间的节点时，试图在减少割边大小的同时保持平衡，这极大地限制了可能的改进集。本文引入了新的技术，放宽了节点移动的平衡约束，但通过组合多个局部搜索在全局上保持平衡，并将组合问题简化为在图中寻找负环，利用了该问题的高效算法，还提供了使不可行分区变为可行分区的平衡变体技术。

2. 预备知识

考虑一个无向图 $G = (V, E, ω)$，其中边权重 $ω : E →R>0$，$n = |V|$，$m = |E|$。将 $ω$ 扩展到集合，即 $ω(E′) := \sum_{e∈E′} ω(e)$。$Γ(v) := {u :