12、有序整数分区与超图横截计算算法研究

有序整数分区与超图横截计算算法研究

在计算机科学领域，有序整数分区和超图横截计算是两个重要的问题，它们在数据挖掘、逻辑和人工智能等多个领域都有广泛的应用。本文将介绍针对这两个问题的相关算法，包括有序整数分区的Faulhaber算法和超图横截计算的基于BDD和ZDD的新算法，并对它们的性能进行分析和实验验证。

有序整数分区计算

有序整数分区问题是指给定一个正整数序列 (I = (i_1, i_2, \ldots, i_n)) 和一个整数 (z)，计算满足特定条件的分区数量 (#(I, z))。为了解决这个问题，我们提出了一种基于Faulhaber公式的算法。

算法实现与运行时间

该算法的核心思想是迭代地计算归一化区间分区和相关多项式。具体步骤如下：
1. 预计算 ：
- 计算Faulhaber公式中所有指数在 (1) 到 (n - 1) 之间的系数。
- 计算所有二项式系数 (\binom{m}{l})，其中 (0 \leq l \leq m \leq n + 1)。这些计算可以在多项式时间内完成，并且不会影响算法的渐近运行时间。
2. 迭代计算 ：
- 在第 (k + 1) 次迭代中，根据第 (k) 次迭代的区间分区和多项式，计算由 (I_k) 和 (i_{k + 1}) 诱导的归一化区间分区 (P(I_k, i_{k + 1})) 和相关多项式。
- 计算新的区间分区可以在 (O(j)) 时间内完成，其中 (j) 是当前区间分区的数量。具体做法是将集合 ({z_l | 1 \leq l \leq j} \cup {i_{