逆元

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于 2019-01-27 23:39:21 发布

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分类专栏：数学-逆元文章标签：数学-逆元

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逆元

逆元是一个较为基础的数论知识，没有过多的花里胡哨，一般和其他数论算法、题目相结合，基本不会出现单纯考察逆元的难题。在信息学竞赛中的使用极其广泛。

一、粗略定义

此处逆元的定义是：

对于一个整数 $a$ ，若存在整数 $x$ ，使得 $ax\equiv 1$ ，我们可以称 $x$ 为 $a$ 的逆元。

二、欧几里得算法求逆元

若 $ax\equiv 1$ $(mod$ $p )$ 有解，

显然存在一个整数 $y$ ，使得 $ax+py=1$

求解诸如此类的方程，使用欧几里得算法即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0) x=1,y=0;
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
int main()
{
    ll a,b,x,y;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld",(x+b)%b);
    return 0;
}

时间复杂度 $O(lg n)$

三、费马小定理

由费马小定理可知：

若 $p$ 是质数，且 $gcd(a,p)=1$ ，则

$a^{p-1}\equiv 1\;\;\;\;(mod\;\;p)$

那么 $a^{p-2}a\equiv 1\;\;\;(mod\;\;p)$

显然 $a^{p-2}$ 就是 $a$ 的逆元，快速幂即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mods=998244353;
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
	return x*f;
}
inline int qpow(int x,int y)
{
	if (y==0) return 1; 
	int p=qpow(x,y>>1);
	return (y&1)?(1ll*p*p%mods)*x%mods:1ll*p*p%mods;
}
int main()
{
    int a=read();
    printf("%d\n",qpow(a,mods-2));
	return 0;
}

时间复杂度 $O(lgn)$

四、阶乘求逆元

求阶乘逆元的方法极其暴力。

首先求出阶乘。

然后暴力求出 $n!$ 的逆元。

再倒推 $i!$ 的逆元即可。

证明简单，不再赘述。

inline int qpow(int x,int y)
{
	if (y==0) return 1; 
	int p=qpow(x,y>>1);
	return (y&1)?(1ll*p*p%mods)*x%mods:1ll*p*p%mods;
}
void init()
{
	fac[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods; 
	inv[n]=qpow(fac[n],mods-2);
	for (int i=n-1;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mods; 
}

时间复杂度 $O(n)$ 。

五、线性求逆元

结论是 $x^{-1}=(p-\left \lfloor p/x \right \rfloor)*\left ( \left \lfloor p/x \right \rfloor \right )^{-1}\;\;mod\;\;p$

证明显然，不再赘述。

void init()
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(mods-mods/i)*inv[mods%i]%mods;
}