AGC011D - Half Reflector(模拟)

原创于 2021-01-14 09:51:12 发布 · 208 阅读

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博客围绕AGC011D - Half Reflector展开，介绍了解题思路。通过分析球在不同状态下的变化，得出按特定过程操作时R位置后推、球种类变化等规律。还指出最多2n次后序列会循环，循环大小为1或2，可做min(k,2n+(k mod 2))次操作得答案，时间复杂度O(k)。

AGC011D - Half Reflector

Solution

先考虑改变一次。
我们令 $L$ 表示往左走的球， $R$ 表示往右走的球， $x$ 表示任意种类的球， $(- x)$ 表示与 $x$ 相反种类的球。

当球处于 $A R A$ 的状态（即有一个向右的球在两个 $A$ 机器人之间）时，状态会这样改变： $ARA→ALB→BRB→BARARA\to ALB\to BRB \to BAR$ 。
当球处于 $A R B$ 的状态， $ARB→AARARB\to AAR$ 。

观察这两种变化，可以得到下列信息：

按此过程进行时，做完一个 $A R x$ 之后会变成 $(- x) A R$ ，然后 $R$ 的位置后推一个单位。
进行一次该过程会让 $R$ 前面的球的种类变成 $R$ 后面一个球的种类
当 $R$ 前面有一个 $A$ 之后，后面的所有状态 $R$ 前面都是 $A$ 。也就是如果某一时刻能做了，这个过程能一直做直到 $R$ 在最末尾。
结束之后最末尾是 $A$ 。

因此倘若初始时第一个球是 $A$ ，那么我们必然不能进行该过程，则把它改成 $B$ 。
否则会把前面连续一段 $B$ 变成 $A$ ，状态变成 $A A A . . . R A x x . . . x$ 的形式，然后开始做上面的过程，从 $R$ 左边的 $A$ 开始的每个球变成它后面一个球的种类取反，这个过程相当于循环左移一个单位再整体取反。

于是我们可以维护一个 $r e v$ 表示全局翻转的次数，用类似队列的东西 $O (k)$ 做了。

然后这题还有一个性质：
最多 $2 n$ 次之后，序列会循环变化，这个循环大小为 $1$ 或 $2$ 。
每整体循环位移一次之后，都会在末尾加一个 $A$ ，而每次循环位移之前的整体取反会让之前的 $A$ 变成 $B$ 因此最多 $2 n$ 次之后，会变成 $x B A B A B A$ 的形式。

因此我们做 $2))min(k,2n+(k\;mod\;2))$ 次操作得到的序列就是答案了。

时间复杂度 $O (k)$

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
char st[MAXN];
int flag[MAXN];
signed main()
{
	int n=read(),k=read(),t=min(k,n*2+(k&1)),nw=1,rev=0;
	scanf("%s",st+1);
	for (int i=1;i<=n;i++) flag[i]=st[i]-'A';
	for (int i=1;i<=t;i++)
	{
		if (flag[nw]^rev) rev^=1,flag[nw+n]=flag[nw],nw++; 
		else flag[nw]^=1;
	}
	for (int i=nw;i<=nw+n-1;i++) putchar((flag[i]^rev)+'A');
	return 0;
}