CF1354F. Summoning Minions

最新推荐文章于 2021-02-22 23:33:05 发布

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本文针对CF1354F.SummoningMinions题目提供了解题思路及代码实现。通过分析可知，最优解与元素顺序无关，而与特定属性的排序紧密相关。采用动态规划的方法求解，并详细解释了状态转移方程。

CF1354F. Summoning Minions

Solution

$V P$ 结束十分钟后 $A C, q w q$ 。

首先因为 $ai,bi≥0a_i,b_i \geq 0$ ，所以所有东西全用一次答案不会变劣，留到最后的集合大小一定为 $k$ 。

如果我们知道留到最后的集合 $S={x_1,x_2...x_{k}}$ ，考虑让 $U - S$ 中的点贡献最大，我们的方案显然是先加入 ${x_1,x_2...x_{k-1}}$ ，然后把 $\in U-S$ 都插入删除一遍，再放入一个 $x_k$ ，因此总贡献为：
$(\sum_{i=1}^{k-1}a_{x_i}+b_{x_i}*(i-1))+(\sum_{i=1}^{n-k}b_{y_i}*(k-1))+(k-1)b_{x_k}+a_{x_k}$
即
$(\sum_{i=1}^{k}a_{x_i}+b_{x_i}*(i-1))+(\sum_{i=1}^{n-k}b_{y_i}*(k-1))$
于是我们发现一个性质：在 $S$ 确定时， $a_i$ 的顺序不影响答案， $b_i$ 从小到大答案最优。

因此我们将所有数按 $b_i$ 排序，再通过选择 $S$ 来使答案最优，我们考虑DP，令 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中，已经选择了 ${x_1...x_j}$ 的最大值。
转移时考虑枚举第 $i$ 个人加入 $S$ 或不加入 $S$ 的贡献：
$f_{i,j}=min(f_{i-1,j-1}+a_i+b_i*(j-1),f_{i-1,j}+b_i*(k-1))$
顺便记录方案即可。

时间复杂度 $O (n k T)$

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=5005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
int a[105],b[105],f[105][105],flag[105],frm[105][105],id[105];
vector<int> V;
signed main()
{
	int Case=read();
	while (Case--)
	{
		memset(f,-INF,sizeof f);
		memset(frm,0,sizeof frm);
		memset(flag,0,sizeof flag);
		int n=read(),k=read();
		for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),b[i]=read(),id[i]=i;
		sort(id+1,id+n+1,[&](int x,int y){ return b[x]<b[y]; });
		V.clear();
		f[0][0]=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=0;j<=k;j++) 
			{
				if (j&&upmax(f[i][j],f[i-1][j-1]+a[id[i]]+b[id[i]]*(j-1))) frm[i][j]=1;
				if (upmax(f[i][j],f[i-1][j]+b[id[i]]*(k-1))) frm[i][j]=2;
			}
		int nw=k;
		for (int i=n;i>=1;i--)
			if (frm[i][nw]==1) V.PB(id[i]),nw--;
			else flag[id[i]]=1;
		reverse(V.begin(),V.end());
		printf("%d\n",n*2-k);
		for (int i=0;i<k-1;i++) printf("%d ",V[i]);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (flag[i]) printf("%d -%d ",i,i);
		printf("%d\n",V[k-1]);
	}
	return 0;
}