CF653F. Paper task-优快云博客

本文解析了CF653F.Papertask问题，该问题是求解给定括号序列中本质不同的合法括号序列个数。通过使用SAM字符串匹配算法并结合线段树维护区间内括号数量差的方法来高效解决此问题。

CF653F. Paper task

简要题面

给定括号序列 $S$ ，求其中本质不同合法括号序列个数。( $∣S∣≤5∗105|S|\leq 5*10^5$ )

Solution

感觉用了一个很麻烦的方法。
我们可以考虑枚举本质不同串的右端点，每次动态地在 $S A M$ 里面加入末尾元素，新增的本质不同后缀个数 $r$ 即为 $len_{lst}-len_{fa[lst]}$ ，显然新增的本质不同串的起点是 $[1, r]$ ，终点是 $i$ 。

现在我们考虑有多少起点在 $[1, r]$ 中的序列合法，我们对于 $1 . . i$ 做一个括号匹配，倘若有左括号没被消掉，则起点只可能在没消掉的左括号右边，令 $l = m a x (s t k [i])$ ，表示最右边的未消掉的左括号。

此时起点在 $[l + 1, r]$ 的串显然只需要满足一个条件——左右括号个数相等即可（因为此时左括号个数不可能多于右括号），因此建一个线段树维护区间内左右括号个数差即可。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-15;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=500005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
char st[MAXN];
int n,s[MAXN],stk[MAXN],top=0;
PR S[MAXN<<2];
void build(int x,int l,int r)
{
	if (l==r) { S[x]=MP(s[l],1); return; }
	int mid=(l+r)>>1;
	build(x<<1,l,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,r);
	S[x].fi=min(S[x<<1].fi,S[x<<1|1].fi),S[x].se=0;
	if (S[x].fi==S[x<<1].fi) S[x].se+=S[x<<1].se;
	if (S[x].fi==S[x<<1|1].fi) S[x].se+=S[x<<1|1].se;
}
PR query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
	if (l>=L&&r<=R) return S[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	if (R<=mid) return query(x<<1,l,mid,L,R);
	else if (L>mid) return query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
	else
	{
		PR X=query(x<<1,l,mid,L,mid),Y=query(x<<1|1,mid+1,r,mid+1,R);
		if (X.fi==Y.fi) return MP(X.fi,X.se+Y.se);
		return (X.fi<Y.fi)?X:Y;
	}
}
int len[MAXN<<1],t[MAXN<<1][2],fa[MAXN<<1],sz=2,lst=1;
void insert(int c)
{
	int p=lst,np=lst=sz++;
	len[np]=len[p]+1;
	for (;p&&!t[p][c];p=fa[p]) t[p][c]=np;
	if (!p) { fa[np]=1; return; }
	int q=t[p][c];
	if (len[q]==len[p]+1) fa[np]=q;
	else
	{
		int nq=sz++;
		len[nq]=len[p]+1;
		fa[nq]=fa[q];
		fa[np]=fa[q]=nq;
		memcpy(t[nq],t[q],sizeof t[0]);
		for (;t[p][c]==q;p=fa[p]) t[p][c]=nq;
	}
}
signed main()
{
	n=read();
	scanf("%s",st+1);
	for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+(st[i]=='('?1:-1);
	build(1,0,n-1);
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (st[i]=='(') stk[++top]=i;
		else if (top) stk[top--]=0;
		int l=stk[top]+1;
		insert(st[i]==')');
		int r=len[lst]-len[fa[lst]];
		if (l<=r)
		{
			PR t=query(1,0,n-1,l-1,r-1);
			if (t.fi==s[i]) ans+=t.se;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}