Loj#6485. LJJ 学二项式定理

最新推荐文章于 2025-05-06 13:25:07 发布

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#单位根反演

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本文深入解析了一道涉及单位根反演和二项式定理的复杂数学竞赛题，通过详细的数学推导，展示了如何利用单位根反演公式简化问题，并给出了高效的算法实现。

Loj#6485. LJJ 学二项式定理（单位根反演）

题目描述

题目描述
题意：求下面式子的答案QAQ。
$[\sum(\tbinom{n}{i}\cdot s^i \cdot a_{i\;\;mod\;\;4}) ]\;mod\;\;998244353$

Solution

The first 单位根反演题 of me。
题目中的式子很有趣，它的形式为 $\sum a_{i \;\;mod \;\;4}$
这就是一个典型的单位根反演的形式，因此考虑单位根反演的公式
$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \omega^{ik}=[n|k]$
我们枚举 $k=i\%4$ ，原式变为：
$\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{i=0}^n [4|i+4-k]s^i \cdot \tbinom{n}{i}$
单位根反演，替换 $[4 ∣ i + 4 - k]$ 进一步化简得到
$\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(i+4-k)}s^i \cdot \tbinom{n}{i}$
整理式子：
$\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(4-k)} (\sum_{i=0}^n\omega_4^{ij}s^i \cdot \tbinom{n}{i})$
二项式定理一波走：
$\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(4-k)}(s\omega^j+1)^n$
所以我们只需要预处理之后计算即可。
单次复杂度 $O (c + l g n)$ ， $c$ 为常数。
注意 $long\;\;long$ ，下面的代码 $define\;\;int\;\;ll$ 了。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second
#define int ll

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
inline int quick_pow(int x,int y)
{
	if (y==0) return 1;
	int q=quick_pow(x,y>>1);
	return (y&1)?1ll*q*q%mods*x%mods:1ll*q*q%mods;
}
int a[4],w[4],P[4];
signed main() {
	int Case=read();
	int wn=quick_pow(3,(mods-1)/4);
	int inv4=quick_pow(4,mods-2);
	w[0]=1; 
	for (int i=1;i<4;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*wn%mods;
	
	while (Case--) {
		ll n=read(),s=read(),ans=0;
		for (int i=0;i<4;i++) a[i]=read();
		for (int i=0;i<4;i++) P[i]=quick_pow((1ll*w[i]*s+1)%mods,n);
		for (int i=0;i<4;i++) {
			int p=1ll*a[i]*inv4%mods;
			for (int j=0;j<4;j++) 
				ans=(ans+1ll*p*w[j*(4-i)%4]%mods*P[j]%mods)%mods;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}