P4103 [HEOI2014]大工程

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#数据结构-虚树 #DP-树形DP #算法-LCA

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本文详细解析了HEOI2014大工程题目的解决方案，通过构建虚树进行DP，计算两两路径和及最大最小路径，涉及关键点个数、子树中的关键点数量等核心概念。

P4103 [HEOI2014]大工程

题目描述

详见：P4103 [HEOI2014]大工程

Solution

显然是虚树的板子题啊（我也不造我为啥调了1h）

直接建虚树，DP。

两两路径和很好求，只要考虑每条边的贡献，设 $k$ 为询问的关键点个数， $size[x]$ 为子树 $x$ 中的关键点数量。

$ans+=(k-size[son[x]])*size[son[x]]*dis(x,son[x])$

对于最大最小路径，

设 $mx[i]$ 为以 $i$ 为根的子树中距离 $i$ 最远的点的距离， $mn[i]$ 为以 $i$ 为根的子树中距离 $i$ 最近的点的距离。

$mx[x]=max(mx[x],mx[son[x]]+dis(x,son[x]))$

$mn[x]=min(mn[x],mn[son[x]]+dis(x,son[x]))$

$maxans=max(maxans,mx[x]+mx[son[x]]+dis(x,son[x]))$

$minans=min(minans,mn[x]+mn[son[x]]+dis(x,son[x]))$

然后就没有然后了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=3e6+50;
const int INF=0x3f3f3f3f;
bool Flag[MAXN];
ll ans1;
int dis[MAXN],ans2,ans3,k,DFN=0,Log[MAXN],a[MAXN];
int stk[MAXN],mn[MAXN],mx[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN][21],dep[MAXN],dfn[MAXN],top;
vector<int> e[MAXN],son[MAXN];

inline int read()
{
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
    return x*f;
}
void add_edge(int u,int v){ son[u].push_back(v); }
void tree_dp(int x,int father)
{
	//cout<<x<<" "<<father<<endl;
	for (int i=0;i<son[x].size();i++) 
	    if (son[x][i]!=father) tree_dp(son[x][i],x);
	mx[x]=Flag[x]?0:-INF,mn[x]=Flag[x]?0:INF,size[x]=Flag[x];
	for (int i=0;i<son[x].size();i++)
		if (son[x][i]!=father) 
		{
			int len=(dep[son[x][i]]-dep[x]);
			ans1+=1ll*size[son[x][i]]*(k-size[son[x][i]])*len;
			if (size[x]>0)
			{
				ans2=max(ans2,mx[x]+mx[son[x][i]]+len); 
				ans3=min(ans3,mn[x]+mn[son[x][i]]+len); 
			}
			mx[x]=max(mx[x],mx[son[x][i]]+len);
			mn[x]=min(mn[x],mn[son[x][i]]+len);
			size[x]+=size[son[x][i]];
		}
	Flag[x]=0;
	son[x].clear();
}
int get_lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
	    if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
	    if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void insert(int x)
{
	if (top==1) { stk[++top]=x; return; }
	int lca=get_lca(stk[top],x);
	if (lca==stk[top]) { stk[++top]=x; return; }
	while (top>1&&dfn[stk[top-1]]>=dfn[lca]) add_edge(stk[top-1],stk[top]),top--;
	if (stk[top]!=lca) add_edge(lca,stk[top]),stk[top]=lca;
	stk[++top]=x; 
}
void dfs(int x,int father)
{
	dep[x]=dep[father]+1;
	fa[x][0]=father;
	dfn[x]=++DFN;
	for (int i=1;i<=Log[dep[x]];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (int i=0;i<e[x].size();i++) 
	if (e[x][i]!=father) dfs(e[x][i],x);
}
int compare(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y]; }
int main()
{
	int n=read();
	for (int i=1;i<n;i++) 
	{
		int u=read(),v=read();
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
	dep[0]=-1,Log[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	dfs(1,0);
	
	int Case=read();
	while (Case--)
	{
		ans1=0,ans2=0,ans3=INF;
		k=read();
		for (int i=1;i<=k;i++) a[i]=read();
		sort(a+1,a+k+1,compare);
		stk[top=1]=1,size[1]=1; 
		for (int i=1;i<=k;i++) 
		{
			Flag[a[i]]=1;
			if (a[i]!=1) insert(a[i]),size[a[i]]=1;
		}
		while (top>1) add_edge(stk[top-1],stk[top]),top--;
		
		
		tree_dp(1,0);
		printf("%lld %d %d\n",ans1,ans3,ans2);
	}
	return 0;
}

代码缩进又被搞了……